高等数学教案第十一章

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1、第十一章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必耍条件。3、掌握儿何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝対收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。7、理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幕级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、会利用幕级数的性质求和。10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林

2、展开式将一些简单的函数间接展开成幕级数。教学重点:1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数教学难点：1、级数收敛的定义及条件2、判定正项级数的收敛与发散3、幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；4、泰勒级数；§1常数项级数的概念和性质一、教学目的与要求：1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2.理解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。二、重点（难点）：级数收敛的定义及条件三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、常数项级数的概念常数项无穷级数：一般地，给定一个数列则由这数列构成的表达式W]+Ui+«3+•••++•

3、・・8叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为工知,即n=lOO丫终?二绚+况2+比3冷+…，”=1具屮第n项—叫做级数的一•般项.8级数的部分和：作级数为的的前n项和/?=1nSn=工吗=绚+U2+弘3+・…+知/=1OO称为级数工冷的部分和.n=lOO级数敛散性定义：如呆级数工知的部分和数列｛$」有极限5,M=1即hmsn=s,/7Tgoo则称无穷级数工知收敛，这时极限$叫做这级数的和，n=l并雪成S=工冷？=比］+%2+弘3+・・•+%〃+•••；n=lco如果｛»｝没冇极限，则称无穷级数工知发散.n=余项：当级数亍血收敛时，其部分和儿是级数丈冷的和S的近似值，它们Z间的差值n

4、=/?=1尸妬+1+给+2+•…叫做级数工知的余项.n=例1讨论等比级数(几何级数)OO工aq"=a+aq+aq2aqn+…/:=0的敛散性，其中。工0,q叫做级数的公比.解：如果炉1,则部分和aq"l—g*0+购+两2+…+Q严=尹十l~cj_qOO当I水1时,所以此时级数乂＞0收敛，其和为n=0当切＞1时，因为lim=00,所以此时级数£网"发散./?=0如果lgl=l,则当尸1时,》=mt8,因此级数为网"发散;71=0当q=-l时，级数£两"成为/?=0a-a+a-a+…，时如1时，因为》随着n为奇数或偶数而等于0或零，所以》的极限不存在，从而这时级数也发散./:=()oooo综

5、上所述，如果

6、水1,则级数为两"收敛，其和为严；如果诈1,则级数工网"发散./?=o_q/?=o仅当加吋，几何级数帥费)收敛，其和为简例2证明级数1+3+5+，••+(2/7-1)+•…是发散的.证此级数的询〃项部分和为片=1+3+5+•••+(2/?-1)=/7(/?+1).显然，lim»=oo,因此所给级数是发散的.“T8例3判別无穷级数1-22-33-4+…+——!——+•…n(n+l)的收敛性.曲于因此1.1.1..1■=1F•—n12233-4/?(/?+1)=(1-如+职)+…+(丄-匕)=1-匕223nn+1n+1从而lim5„=lim(l)=1"T8/?—>OOAl+I所以这

7、级数收敛，它的和是1.提示：知=/I1=丄—/?(/?+1)nh+1二、收敛级数的基本性质OOOO性质1如果级数工知收敛于和几则它的各项同乘以一个常数£所得的级数工b仃也收敛，且其n==和为ks.证明：设与为如仿的部分和分别为》与观则“=1n=lim(rn=lim伙U+/a(2+…kuj=klim(绚+“2+・••％〃)=&Hmsn=ks."T8HT8-n—>ooJ/?—>00这表明级数Xkutl收敛，且和为ks.n=表明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。OOOOOO性质2如果级数工知、工匕分别收敛于和s、0则级数工（血±%也收敛，且其和为吐cn==

8、n=证明:如果工冷、n==》（冷±匕）的部分和分别为比八Q八九，则n=limTn=lim[(旳±v1)+(w2±v2)+---^(un±vn)]>00“Too=lim[(W

9、+弘2町)±("i+"2+…+%】)]"Too=lim(5n±(7H)=5±(7•"T8表明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质3在级数屮去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.比如,级数吉+占+右*+亠