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《数值分析讲义 第一章 绪论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数值分析主讲阎家斌ayxoy=xy=f(x)第1章绪论§1数值分析研究的对象和内容数值分析是研究科学计算中各种数学问题求解的数值计算方法。用计算机进行科学计算解决实际问题的过程如下：实际问题数学模型数值计算方法程序设计计算机计算求出结果对数学模型建立数值计算方法，并对方法进行理论分析，直到编程上机计算出结果，以及对结果的分析，这就是数值分析研究的对象和任务。如何评价不同算法的好坏呢？一个好的算法应具有如下特点：一个好的算法应具有如下特点：（1）结构简单，易于计算机实现；（2）理论上要保证方法的收敛性和数值稳定性；（3）计算效率高：计算速度
2、快，节省存储量；（4）经过数值实验检验，证明行之有效。我们在学习的过程中，要注意掌握数值方法随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算的基本原理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论。物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。§2误差的来源和分类误差是描述数值计算之中近似值的精确程度，在数值计算中十分重要，误差按来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。1.模型误差数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般
3、带有误差，这种误差称为模型误差。2.观测误差数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。3.截断误差求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差或方法误差。例如，利用ln（x+1）的Taylor公式：实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5项有：这里产生误差（记作R5）4.舍入误差由于计算机只能对有限位数进行运算，在运算中象在数值分析中，我们总假定数学模型是准确的，因而不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响。等都要按舍入原则
4、保留有限位，这时产生的误差称为舍入误差或计算误差。§3绝对误差、相对误差和有效数字设x是精确值x*的一个近似值，记e=x*-x称e为近似值x的绝对误差，简称误差。
5、e
6、≤则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。精确值x*、近似值x和误差限之间满足：x-≤x*≤x+通常记为x*=x±绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如x*=10，x=1，y*=10000，y=5虽然y是x的5倍，但在10000内差5显然比10内差1好。如果满足称er为近似值x的相对误差。记由于x*未知，实际使用时总是将x的相对误差取为r=
7、/
8、x
9、称为近似值x的相对误差限。
10、er
11、≤r.设x=1.24是由精确值x*经过四舍五入得到的近似值,求x的绝对误差限和相对误差限。解由已知可得:1.235≤x*<1.245所以=0.005，r=0.005÷1.24≈0.4%例1一般地,凡是由精确值经过四舍五入得到的近似值,其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。定义1设数x是数x*的近似值，如果x的绝对误差限是它的某一数位的半个单位，并且从x左起第一个非零数字到该数位共有n位，则称这n个数字为x的有效数字，也称用x近似x*时具有n位有效数字。例2已知下列近似值的绝对误差限都是0.
12、005,问它们具有几位有效数字?a=12.175,b=-0.10,c=0.1,d=0.0032解由于0.005是小数点后第2数位的半个单位,所以a有4位有效数字1、2、1、7,b有2位有效数字1、0,c有1位有效数字1,d没有有效数字。数x总可以写成如下形式x=±0.a1a2…ak×10mx作为x*的近似值,具有n位(n≤k)有效数字当且仅当由此可见,近似值的有效数字越多,其绝对误差越小。为了使x*=例3问应取几位有效数字？解由于x=±0.a1a2…ak×10，a1=1≠0故取n=6，即取6位有效数字。此时x=1.41421。注：精确值的
13、有效数字可认为有无限多位。的近似值的绝对误差小于10-5，=1.4…,则近似值x可写为其中m是整数,ai是0到9中的一个数字,a1≠0§4数值计算中的若干原则为了减少舍入误差的影响，设计算法时应遵循如下的一些原则。1.避免两个相近的数相减。如果x*,y*的近似值分别为x,y，则z=x-y是z*=x*-y*的近似值.此时，相对误差满足估计式可见，当x与y很接近时，z的相对误差有可能很大。在数值计算中，如果遇到两个相近的数相减运算，可考虑改变一下算法以避免两数相减。例如：例4求方程x2-64x+1=0的两个根，使它们至少具有四位有效数字。（）
14、解由求根公式有对两个相近的数相减，若找不到适当方法代替，只能在计算机上采用双倍字长计算，以提高精度。2.防止大数“吃掉”小数因为计算机上只能采用有限位数计算,若参加运算的数量级差很大，在它们的
