数值分析_绪论(1)

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1、数值分析第1章绪论§1.1数值分析的研究对象数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题时经历的几个过程：提问：数值分析是做什么用的？提问：数值分析是做什么用的？选择数值计算方法程序设计上机计算求出结果构造数学模型实际问题任务：数值分析的任务是提供在计算机上实际可行的，有可靠理论分析、计算复杂性好的各种数值计算

2、方法。特点：数值分析是与计算机及其它科学有密切关系的数学课程，因此它即具有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性，除此之外，它还有以下几个基本特点：1、采用“构造性”方法；2、采用“离散化”方法；3、采用“递推化”方法；4、采用“近似代替”方法等等。研究内容线性方程组的数值解矩阵特征值与特征向量计算非线性方程的数值解数值逼近数值积分常微、偏微的数值解研究方法理论分析算法分析误差分析收敛性分析收敛速度§1.2误差知识与算法知识1.2.1误差的来源与分类在工程技术的计算中，估

3、计计算结果的精确度是十分重要的工作，而影响精确度的是各种各样的误差。误差的来源是复杂的，但主要有以下四种：从实际问题中抽象出数学模型——模型误差(ModelingError)通过测量得到模型中参数的值——观测误差(MeasurementError)求近似解——方法误差(截断误差(TruncationError))机器字长有限——舍入误差(RoundoffError)模型误差处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的解之间的误差叫模型误差。例如是实际问题的解，而若数学模型的

4、解是由此产生的误差叫作模型误差。观测误差数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫观测误差。截断误差求解数学模型所用的数值计算方法，如果是一种近似的方法，只能得到模型的近似解，由此产生的误差称为截断误差或方法误差。舍入误差由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误差叫舍入误差或计算误差。例如在16位微机上计算，单精度实数存放仅有7位有效数字。在其上运算，会有130.3333333,(1.000

5、002)21.0000040,后者的准确结果是41012。大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4(Remainder)取则称为截断误差(TruncationError).

6、舍入误差(RoundoffError)

7、=0.747……由截去部分(excludedterms)引起由留下部分(includedterms)引起1.2.2绝对误差、相对误差与有效数字(ErrorandSignificantDigits)定义绝对误差(absoluteerror)例如：其中x为精确值，x*为x

8、的近似值。

9、e

10、的上界记为e,称为绝对误差限(accuracy),工程上常记为x=x*±e.注:理论上讲,e是唯一确定的,可能取正,也可能取负.e>0不唯一，当然e越小越具有参考价值。提问：绝对误差限的大小能否完全地表示近似值的好坏？例如：有两个量问：谁的近似程度要好一些？思考定义近似值x*的相对误差(relativeerror)定义近似值x*的相对误差上限(界)(relativeaccuracy)由于精确值x未知,实际上总把作为x*的相对误差，并且仍记为er,即注:相对误差一般用百分比表示.例1用最小刻度

11、为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为a=312mm和b=24mm，问：(a)，(b)，r(a)，r(b)各是多少？两直杆的实际长度x和y在什么范围内？解：例2设a=-2.18，b=2.1200是分别由准确值x和y经过四舍五入而得到的近似值，问：(a)，(b)，r(a)，r(b)各是多少？解：有效数字(significantdigits)四舍五入带来的绝对误差限凡是由准确值x经四舍五入而得到近似值x*，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。定义有效数字设x*是数x的近似值，如果x*

12、的绝对误差限是它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n位，则称用x*近似x时，具有n位有效数字。用科学计数法，记（其中）,若(即an的截取按四舍五入规则)，则x*至少有n位有效数字，且精确到10mn.有效数字的确定方法有效数字的位数n=近似数科学记数法的幂指数－绝对误差限科学记数法的幂指数.当差为负整数时，表示没有效数字!把误差限表示为0.5×10