数值分析1-绪论

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1、数值分析绪论高云gaoyunchina@ouc.edu.cn参考资料第三种科学方法：计算机时代的科学计算石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000科学计算导论（第2版）（英文影印版）M.T.Heath著，清华大学出版社：McBraw-Hill，2001数值分析（第4版）李庆扬等，清华大学出版社，2001三个问题：如何实现人机对弈？2.如何求解方程组？3.比较以上两者的不同？1.计算机和人对弈数据关系算法数学模型首先：如何表示棋盘和格局其次：如何表示规则最后：博弈的过程2.求解方程组首先：如何表示系数其次：如何表示方程最后：求解方程数据关系算法数学模型研究数值

2、分析的意义算法的研究和应用正是本课程的主题！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学数值分析解决问题的过程数学模型输入复杂问题或运算数值计算方法计算机近似解数值分析的任务科学计算的任务是设计高效可靠的数值算法。对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相差百万倍或者更多。?例：求解一个n阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需要计算n+1个n阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要n!(n2-1)次乘除运算。当n=20时，20!(202-1)≈9.7×1020用每秒运算30亿次的计算机求解时，大约需要10000年的时间。而如果使用高斯（Gauss）消元法，

3、大约需要3060次乘除运算，不到一秒钟就能完成。数值分析的特点面向计算机，要根据计算机特点提供切实可行的有效算法。要有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和稳定性。要有好的计算复杂性（时间和空间）要有数值试验。（检验理论的正确性和发现新的方法）数值分析的主要研究内容?函数的插值?函数的逼近?数值积分和数值微分?线性方程组的直接解法和迭代解法?非线性方程（组）的求解?微分方程的数值解法离散化方法数值分析算法的要求构造性的数值方法，不仅要论证问题的可解性，而且解的构造是通过数值演算过程来完成的。不仅仅是单纯的数学公式，而是指解题方案的准确和

4、完整的描述。用框图来描述算法。数值分析的发展历史微积分的发展极限论和泰勒展开式是理论依据插值法则是实践指南计算机的出现和发展现在正是一个有利的时期如何学习数值分析注意掌握算法的基本原理和思想。重视对误差、收敛性及稳定性的分析通过例子，学习使用各种数值分析方法解决实际计算问题。完成必要的数值实验和计算练习。机器数系数基NumberBase精度Precisiont阶域ExponentialRange上界U下界Lx的尾数di尾数数字（整数)d10ex的阶数1.1.1Fn中的浮点数的总数0从L到U的阶次个数从2到t,共t-1位的di有种选择第1位的d1可以有(-1)

5、种选择正数和负数有相同个数1.1.11.1.1示例浮点数集数值-3-2-10123位置(1/2+0/4+0/8)22=32/16(1/2+1/4+1/8)22=56/16(1/2+0/4+1/8)22=40/16(1/2+1/4+0/8)22=48/16(1/2+1/4+1/8)21=28/16(1/2+1/4+0/8)21=24/16(1/2+0/4+1/8)21=20/161/2+0/4+0/8)21=16/16(1/2+1/4+1/8)20=14/161/2+1/4+0/8)20=12/16(1/2+0/4+1/8)20=10/16(1

6、/2+0/4+0/8)20=8/16(1/2+1/4+1/8)2-1=7/16(1/2+1/4+0/8)2-1=6/16(1/2+0/4+1/8)2-1=5/16(1/2+0/4+0/8)2-1=4/16多项式求值的秦九韶方法（递推化）自然法简单递推秦九韶算法加法nnn乘法n(n+1)/22nn秦九韶算法的特点通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值。具体地说，他将一个n次多项式的求值问题，归结为重复计算n个一次式来实现。方程求根的二分法（无穷递推过程的截断）问题，下面两个命题能否成立：（1）二分法可以求出区间内的所有实根。（2）二分法可以求出区间

7、中的复数根。欢迎提出问题！