第一章 数值分析绪论42487

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1、数值分析信息科学与工程学院教材数值分析李庆扬、王能超、易大义（华中科技大学出版社，第四版）数值分析孙志忠、袁慰平等（东南大学出版社,第二版）现代科学与工程计算孟大志、刘伟（高等教育出版社）第1章绪论一、数值分析能够做什么？（应用问题举例）§1Introduction1、一个两千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之

2、三。-------《九章算术》——这是一个线性方程组求解问题2、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温——这是一个插值问题3、人口预测下面给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743——这

3、是一个曲线拟合问题4、铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.——这是一个数值求积问题二、数值分析的含义、内容与特点诺贝尔奖得主,计算物理学家Wilson提出现代科学研究的三大

4、支柱：理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会用数学解决实际问题--会用计算机进行科学计算——计算成为第三种科学方法建立数学模型选取计算方法编写上机程序计算得出结果科学计算解题过程什么是数值分析？数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分，它主要研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法）;对求得的解的精度进行评估以及在计算机上实现求解等。数值计算方法已经成为计算机处理实际问题的一个重要手段，从宏观天体运动学

5、到微观分子细胞学，从工程系统到社会经济系统，无一能离开数值计算方法。因此，数值计算与计算机模拟被称为“第三种研究科学方法”。科学计算可视化是目前研究的热门问题，下面的艺术图形是基于科学计算的数据表示的例子分形图混沌图传统数值分析的主要研究内容：1、数值逼近：插值、函数逼近与计算、拟合、FFT、数值积分与微分2、数值代数：方程求根、线性代数方程组的解法、非线性代数方程组的解法、特征值与特征向量3、微分方程数值解：ODE、PDE和有限元法4、最优化方法：无约束优化与有约束优化方法现代计算方法：融进了机器学习计算、仿生计算、网

6、络计算、以数据为核心的计算和各种普适计算、非线性科学计算等内容。数值分析的主要特点：借助计算机提供切实可行的数学算法.想的精确度;收敛且稳定;误差可以分析或估计.所提出的算法必须具有：可靠的理论分析;理时间复杂性好__指节省时间；空间复杂性好__指节省存储量。计算复杂性好通过数值实验证明算法行之有效.如何学好数值分析？三、算法描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步

7、骤，称为算法。例：求解二元一次联立方程组用行列式解法：首先判别（1）如果，则令计算机计算输出计算的结果x1，x2。（2）如果D=0，则或是无解，或有无穷多组解。是否为零，存在两种可能：令通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：S2计算S3如果则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;否则S1输入S4输出计算的结果输入D=a11a22-a12a21D=0开始输出x1,x2结束No输出无解信息Yes四、算法优劣的判别计算量的大小存贮量逻辑结构例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做

8、n!(n-1)(n+1)次乘法运算。n=20需要运算多少次？n=100?一、误差的来源与分类从实际问题中抽象出数学模型——模型误差例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落，其下落距离s与时间t的关系是：其中g为重力加速度。§2误差来源与误差分析的重要性通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断