§1.6极限存在准则

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1、§1.6极限存在准则两个重要极限本节将给出两个经常要用到的重要的极限公式:为此先介绍判定极限存在的准则.一、极限存在准则1.夹逼准则准则I:如果数列{xn},{yn}及{zn}满足:(1)ynxnzn(n=1,2,···)那末数列{xn}的极限存在,且证:则>0,N1>0和N2>0,使得当n>N1时,有

2、yn–a

3、<,及n>N2时,有

4、zn–a

5、<.数列极限存在准则I可以推广到函数极限.从而有

6、yn–a

7、<成立.a–

8、N时,

9、yn–a

10、<及

11、zn–a

12、<因此）（）（存在,且等于A.那末准则I:如果当xU0(x0)(或

13、x

14、>M)时,恒有(1)g(x)f(x)h(x),准则I和准则I'称为夹逼准则(夹逼定理).注意:利用夹逼准则求极限的关键是构造{yn}与{zn}(g(x)与h(x)),并且{yn}与{zn}(g(x)与h(x))的极限是容易求得的.例1:求解:由夹逼定理得:=1=2.单调有界准则几何解释:准则II:单调有界数列必有极限.如果数

15、列{xn}满足对任意的正整数n都有:xnxn+1(xn+1xn),则称数列{xn}为单调增加数列(单调减少数列).单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列.本结论的证明超出课程要求.例2:证明数列的极限存在.并求其极限.(n重根式)证:显然故xnxn+1,所以数列{xn}是单增的.(舍去).所以数列{xn}是有界的.两边同时取极限,得:A2=3+A,假定xk<3,则:又因为因此,极限存在.不妨设解得,所以二、两个重要极限首先注意到函数构造一个“夹逼不等式”,使函数邻域内置于具有同一极限值的两个函数g(x),h(x)之间,以

16、便应用准则I.对一切x0都有定义,设法在x=0的某去心(1)作如图所示的单位圆o,设圆心角作圆O的切线AC,得AOC.AOB的高为BD.注意到:OA=OB=1.扇形AOB的圆心角为x,sinx

17、28···,这是一个无理数,它在工程技术中非常重要.当x1时,有[x]x[x]+1.所以令t=–x,综上所述注:此结论可推广为特别有其条件为当x→a时,(x)→0,其中a可为有限值,也可为∞.例6:求解:一般地有例7:求解一:解二:例8:求解:三、小结1.极限存在的两个准则夹逼准则;单调有界准则.2.两个重要极限设为某过程中的无穷小.则思考题求极限思考题解答