高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限.ppt

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1、一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极限§1.6极限存在准则两个重要极限上页下页铃结束返回首页2由条件(2)e0N0当nN时有一、准则I及第一个重要极限如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I

2、yn-a

3、e及

4、zn-a

5、e即有a-eyna+ea-ezna+e由条件(1)有a-eynxnzna+e即

6、xn-a

7、e简要证明下页3一、准则I及第一个重要极限准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)li

8、mg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A证明与准则I类似下页如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I4第一个重要极限显然BCABAD(因此sinxxtanx简要证明参看附图设圆心角AOB=x下页两边除以sinx,得5注:这是因为令u=a(x)则u0于是下页(2)第一个重要极限6例2解解例3下页7例4解下页8思考:1.公式计算2.几何理解下页9二、准则II及第二个重要极限注:如果xnxn+1nN就称数列{xn}是单调增加的如果xnxn+1

9、nN就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列下页准则II单调有界数列必有极限讨论:收敛的数列是否一定有界？有界的数列是否一定收敛？10M二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限准则II的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例下页数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能无限趋近于某一定点A11例5证(舍去)12根据准则II数列{xn}必有极限,此极限用e来表示.第二个重要极限e是个无理数它的值是e=2718281828459045下页二、准则I

10、I及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限若可以证明(2)xn3(1)xnxn+1nN证明略13(1)xnxn+1nN大大正比较可知大下页14根据准则2可知数列有极限.又(2)xn3即xn3下页15下页二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限我们还可以证明这就是第二个重要极限第二个重要极限e是个无理数它的值是e=271828182845904516证:当时,设则下页17当则从而有故时,令下页18第二个重要极限二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限注:下页19解例6令t=-x下页则x时t

11、于是20例7.求解:原式=结束21内容小结1.两个重要准则及其应用(1)夹逼准则(2)单调有界数列必有极限2.两个重要极限或注:代表相同的表达式22思考：23故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则24作业：P56-1：（4）（5）（6），P56-2：（3）（4），4：（2）（3）(5)25最常见的四种e的定义如下：1.定义e为下列极限值：2.定义e为下列无穷级数之和：其中n!表n的阶乘。3.定义e为唯一的数x>0使得4.定义e为唯一的数使得26