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时间:2020-04-05
《高数同济§1.6 极限存在准则两个重要极限.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极限§1.6极限存在准则两个重要极限上页下页铃结束返回首页2由条件(2)e0N0当nN时有一、准则I及第一个重要极限如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I
2、yn-a
3、e及
4、zn-a
5、e即有a-eyna+ea-ezna+e由条件(1)有a-eynxnzna+e即
6、xn-a
7、e简要证明下页3一、准则I及第一个重要极限准则I如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件(1)g(x)f(x)h(x)(2)li
8、mg(x)Alimh(x)A那么limf(x)存在且limf(x)A证明与准则I类似下页如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件(1)ynxnzn(n=123)准则I4第一个重要极限显然BCABAD(因此sinxxtanx简要证明参看附图设圆心角AOB=x下页两边除以sinx,得5注:这是因为令u=a(x)则u0于是下页(2)第一个重要极限6例2解解例3下页7例4解下页8思考:1.公式计算2.几何理解下页9二、准则II及第二个重要极限注:如果xnxn+1nN就称数列{xn}是单调增加的如果xnxn+1
9、nN就称数列{xn}是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列下页准则II单调有界数列必有极限讨论:收敛的数列是否一定有界?有界的数列是否一定收敛?10M二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限准则II的几何解释x1x5x4x3x2xnA以单调增加数列为例下页数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点A而对有界数列只可能无限趋近于某一定点A11例5证(舍去)12根据准则II数列{xn}必有极限,此极限用e来表示.第二个重要极限e是个无理数它的值是e=2718281828459045下页二、准则I
10、I及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限若可以证明(2)xn3(1)xnxn+1nN证明略13(1)xnxn+1nN大大正比较可知大下页14根据准则2可知数列有极限.又(2)xn3即xn3下页15下页二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限我们还可以证明这就是第二个重要极限第二个重要极限e是个无理数它的值是e=271828182845904516证:当时,设则下页17当则从而有故时,令下页18第二个重要极限二、准则II及第二个重要极限准则II单调有界数列必有极限注:下页19解例6令t=-x下页则x时t
11、于是20例7.求解:原式=结束21内容小结1.两个重要准则及其应用(1)夹逼准则(2)单调有界数列必有极限2.两个重要极限或注:代表相同的表达式22思考:23故极限存在,备用题1.设,且求解:设则由递推公式有∴数列单调递减有下界,故利用极限存在准则24作业:P56-1:(4)(5)(6),P56-2:(3)(4),4:(2)(3)(5)25最常见的四种e的定义如下:1.定义e为下列极限值:2.定义e为下列无穷级数之和:其中n!表n的阶乘。3.定义e为唯一的数x>0使得4.定义e为唯一的数使得26
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