《随机过程及应用》教案-习题课六答案

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1、1.设随机过程X(/)=§cos(0/+〃),yov/v+oo,其中g〜N(0,l),〃〜”(0,2兀),§与〃相互独立，0为正常数.试证：随机过程｛x(/),-oovrv+oo｝为平稳过程，且均值具有均方遍历性.证明：(1)加」r)=£[Xa)]=E(Lcos(0r+〃)=日§]E[cos(0f+〃)]=0(2)R(H+C=E[X(f)X(+)]=E[孑]E[cos(0/+〃)cos(0(/+r)+；7)]=-E[cos[3t+cos(20+0了+2〃)]2=—cos^r=R(t)(3)E[X2(r)]=7?(r,r)=^<+oo由(3)得｛X(r),-o

2、o

3、〃)]=0(2)R(ttt+t)=E[X(t)X(t+T)1=EFE[cos(0r+〃)cos(0r+“£+〃)]6?i=—-—Efcos[]t+cos(0/+2/?r+27/)]3=—cos/5r=R(t)(3)3E[Xt)]=R(t^=-<+oo由(3)得｛X(r),-oo

4、①是相互独立的随机变量，E[A]=2,Z)[A]=4,0~"(-5,5),①〜U(-龙")，试讨论｛X(r)5-oo

5、2(/)]=Rxg)=/?x(0)=4=l.i.m2丁JAcos®+(P)dtA=1.i.msincoTcos0=0=mxTAcos伽+0)Acos(07+刃+0)d/因此｛Xa),Yo=.i.m—tA2cT=1.Lin——cos(69r+⑦)cos(M+r)+(P)dtt—2TJ—rA?=—cos69T^7?v(r)因此｛X(f),-8

6、中f和帀相互独立,都服从N(0q2),证明：随机过程｛X⑴-8vfv+00｝为严平稳正态过程。证明：｛X(/)｝为正态过程，故只需证明｛X(/)｝为宽平稳过程。(1)叫⑴二E[X(r)]=砖cos0f+〃sin0f]=E§•cos0/+E”•sin0/=0(2)R(tyt+r)=E[X(t)X(r+r)]=E[^2cos0?cos0(/+r)]+E[r/2sin0/sin0(r+r)]+E｛^r)-[cos0/sin0(/+r)+sinptcos0(/+r)J=E[孑cos0/cos0(/+r)]+sin0/sin0(/+r)]=a2cos/?r=/?(r

7、)(3)E[X2(t)]=R(t,t)=cr2<+00由(1)・(3)｛X(/)-oo0为常数。试讨论｛Z(°,化R｝的平稳性及均值的均方遍历性。解：Z(t)=X(t)X(t+u)=4cos(曲+0)•Acos[69(r+u)+0]r1=•—fcos(26^+M+20)+cosa)u]

8、mz(r)=£[x(r)X(r+w)]=Rx(w)4