《随机过程及应用》教案-习题课五答案

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1、1.（X（r）,r（r））是零均俏的二维正态过程.试证X2（r）也是二阶矩过程.证明：MeT,XQ）~N（O,D⑴），所以有•••心]=2,申]=1D⑴D(t)空2[渔]“DtYZ)(0<4-00Dt)E[X2(/)]2=E[X4(r)]=3D2(r)/.｛X2（o）为二阶矩过程。2.设｛x”,n1｝是相互独立的随机变量序列，其分布律为:,_7试讨论此序列是否均方收敛。解：EXm-Xn=EX；+町X^-2E[Xm]E[Xn]其中£[x,J=m-r=-mmnnEX：一；EX；(=m2-丄7=1」m"=zi2~-=1n~E[XmXn]=E[Xm]E[Xn]mn从而

2、当mWn时limEXm-Xnlim2-2——HT2^｛XH,n>l｝不均方收敛。1.证明若1,i.mX„=X，则X”的特征函数收敛于X的特征函数。H—证因为对于函数f(x)=eitxxeR,有卩"(兀)

3、=”严勻小从而

4、/(x)-/(j)

5、

6、x-y

7、即f(X)=严XGR满足李普希兹条件，故对X5)冇"T8所以e[i.^/(xj]=e[/(x)]即lim(px(/)=lim~=1•/-,we，，X"=Ee'rX=(px(/)X(”)的特征函数收敛于X的特征函数.2.证明Poisson随机变最序列的均方极限是Poisson随机变最。证明：设｛X”/=l,2,・・

8、・｝是Poisson随机变量序列，1.加X”=X,则lim£[Xj=£[%],n—>oo>8即lim=AnT8于是(px(r)=lim(px(r)=lim/3~"=/宀""TOO"->8故X是Poisson随机变量。3.假设©点，…是独立同分布的随机变量列，E(^o)=A>O,V=Vp服从参数为〃的指数分布，且与—独立，令+・・・+和证明：当“TO时，卩匚的极限分布是参数为*的指数分布。(1A证明：设耳严诞严PG忒+…+赢)，令g〜E1,丿即证佈依分布收敛于§・由特征函数与分布函数之间的唯一确定关系，故只需证明佈的特征函数收敛丁宅的特征函数。记0(町二疋「/細=—

9、^—L」p-iue｛e[严]

10、[匕]｝k=k=2f=£穴(1-尹)［卩伽)丁;1-eP(p(pu)[-e~p^e~p(p[pu)l-e~r(p(pu)r/、「u-以七n)lim%(w)=lim——-——-—"->0竹“to—eP(p(pu)]_ii屮jfu为g的特征两数，所以当〃T0时〃•的极限分布是参数为-的指数分布。6.设X(z)=Az2+Bz+C,A、B、C是相互独立的标准正态随机变最，讨论随机过程｛X(/),-oo

11、0=s2t2+*+1R(s,/)为连续函数，故｛X(r)｝均方连续、均方可积，考虑其广义二阶导数R(t+力』+k)—R(t+h、t)—R(t、t+k)+R(t、f)lim/—oEtOhkv[(t+h)(t+k)f+(/+〃)(/+R)+1-(r+/l)2/2一(/+力)/_1_/2(/+切2_&+上)一1+/2/2+/2+1=limhkRtO•(t+h)?k(2t+R)+k｛t+h)—「k(2t+k)—tk=lim-中t?hkR->0十k(2t+k)•h(2t+h)+kh=lim——flTl)*->()=4?+1故｛X(/)｝均方可导。kh7.设｛W(tt>0｝

12、是参数为k的维纳过程求随机过程｛x(/)』no｝的均值函数和协方差函数.解：令y(r)=£w(w)dw.则｛丫⑴,宀0｝为｛W)^>0｝的均方不定积分。E[x(r)]/?x(M)=E[x(5)X(/)]=-E[y(5)y(r)]JI=—[[Rw(u,v)dudvs/JoJu=一f[a2min(M,v)dudvStJoJoI(j2s2—-—(3/-5)0<50｝是平均率为久的泊松过程X(/)=fj(；N(u)du・求随机过程｛x(/)』>0｝的均值函数和协方差函数.解：令Y(/)=j；N(u)du,则｛

13、Y(f),fno｝为｛N(f)jno｝的均方不定积分

14、1rf1et

15、£[%(/)]=-E[y(r)j=.E[N(u)idu=-Audx=-tAt/J()/J()2RxG'f)=+J(J(Rn(s,f)dudv=——[[f2min(w,v)duJv+[fA^uvdudv]StJoJoJoJostAv，-、才n—(3/—$)st0vy5/6/4=<2f—(3s—/)stOv/Ws6$4C(5,t)=Rx(y,t)-mx(5)mx(/)—(3r-5)0<50｝W是参数为a2的维纳过程Y(t)=*W(〃)d«,

16、常数L>0