《随机过程及应用》教案-习题课三答案

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1、1.设X(/)=A+Bcos/,yov/v+8,其中A和3为相互独立均服从N(0,l)的随机变量.(1)证明｛X(/),-ooo｝为正态过程；(2)求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.(1)证明：设(X(JX(f2),…,X(r“))为随机过程｛X(r),-oo

2、态过程。(2)E(A+Bcosr)=0D(A+Bcosr)=14-cos21:.X(/)=A+Bcosr〜"(OJ+cos'r)1__—f(tX)=?gW+cosSR72^(1+cos2r-丄If"1+8“I)(p{tu)=e2当心/时，(x($),x(/))为二维正态分布。E[X(s)]=0E[X(Z)]=0C(s,$)=E[X2(s)]=14-COS2sC(t.t)=1+COS2tCg)=R(sj)-0=E[X(s)X(t)]=ElA2+B2cosscosr+AB(coss+cos/)J=E[A2]^E[B2cosscos/]+0=1+COS5COSZA7/n1o91+C

3、OS5COSZ、•••(X(s),X(/))~N(0,l+cos~s;0,1+cost；―)(】+cos2$)(l+cosS)x22.n*(l+c<)S5CO$/]y22(cos5-cosr)21+cos2s(l+cos2s'Xl+cos?r)1+cos21•■(1+cos2r)-v2-2xy(l+cos.vcos/)+、；(】+cos2sj]2(cos.^-cos/)2vl+COS2s•Vl+COS2/2^

4、cos5-cosrI1e2龙Icoss—cos"」(I+cos26-)+2wv(I+cos.vcosz)+v:(1+cos2r)~l(p(s.tu,v)=e2注：｛xa)

5、,-oov/v+oo｝的三维及以上协方差矩阵的行列式为o,从而概率密度不存在，为退化的正态分布。1.设｛%(/),-«>

6、l(x(G，•••,x(/”))7'为一维正态分布.同理也为一维正态分布.又由｛X(r)｝、相互独立，从而・•・A(X(r,),...,X(z„))r与••・2(/(0,也相互独立.由正态分布的可加性得如)、A5为正态分布.Z4)丿从而3(/)｝二为正态过程。注：此题说明正态过程具有可加性。2.设｛%(/),/€(-00,4-00)｝是均值函数为0,自相关函数心(凡/)=(卜

7、+

8、/

9、-卜一4)/2的正态过程，证明Z(f)=x(r),r>0,K(r)=X(-r)j>0是相互独立的正态过程。证明：因X(/)为正态过程，故｛£(/),/>()｝,｛Y2(tt>0｝均为正态过程。欲证

10、｛皿),/〉0｝与｛K(r),r>0｝相互独立，只需证明X,・•・,X”)=竹(4,•••,—,；西,…，兀”)对(『1，…,r加；必，…,因为｛z(/),/>0｝与｛£⑴,/n0｝的比+m维联合分布是｛X(/),te(-00,+00)｝的n+加维分布，而正态分布。从而只需证明Vr,>0,r2>0,有C",a」2)=0W>0j2>0e[WM(/2)]=£[x(GX(t2)]=Rx(£,一『2)=("1I+I-『2I-1一勺一片I/2=[片+z2-(t2+£)]/2=0Cy居(A^2)=%0]J2)~叫、4)叫(f2)=EY4)E(G)=°所以｛K⑴,/>0｝与｛匕(/),r20

11、｝相互独立。1.设｛W(r))r是参数为(Tt,W-，匚W-1人丿V2>的维纳过程，试证明*心)0/=0是参数为"2的维纳过程。解:(1)W/(0)=0(2)取Ovt]v…V，W0<—<—因为｛W(r))r为维纳过程,‘2‘I所以增量W—,w乜丿w—w乜丿，…,W丄-W相互独立。考虑｛Wt)｝的一组增量x—w7VI1、-w11汁叫护严寓丿flrn1）n-_w丄，打=w丄L/”，L•n-（xpx2,x3,-sxj的〃维特征函数娥

12、.X2，X”・・X〃（旳9比29“3，…宀=E