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《《随机过程及应用》教案-习题课四答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.设{X(t?),〃=0,1,2,・・・}为马氏链，证明P{X⑴=召
2、X(2)=x2,X(3)=屯，…,X(n)=xn}=P{X()=x}X(2)=x2]即马氏链的逆序也构成一个马氏链.证明：•・•{X®)}为马氏链.・・•有P{X(n)=xnX⑴二召，X⑵=x2,X⑶二兀3，-，XS—1)=£t=P{X(/z)=a;
3、X(2)=x2,---,X(z?-1)=x,j_1)从而P{X(l)=X
4、,・・・，X(n-l)=x”_],X(n)=x”}P{X(1)=石，…，X(n—1)=耳.JP{X(2)=x2,---,X(/2)
5、=xJ一P{X⑵二兀2,…，X5—l)=x”_J.P{X(l)=X
6、,・・・，X(/?)=x”}二P{X(1)=兀],•••,X(/?—l)=£_[}…P{X(2)=x2t-fX(n)=xn}~P{X(2)=x2i-9X(n-l)=xfl_1}=P{XW=心…，X(〃—2)=兀_}=......~P{X(2)=x2,---,X(/?-2)=xm_2)~……^P(X(l)=xrX(2)=x2}~P{X(2)=x2}从而P{X(l)=^
7、/2)=x2,...,X(n)=xJ=P{X(1)=X]
8、X(2)=x2,---,X(h-1)=
9、%„_!)=P{X⑴fJX⑵=切2.如果马氏链的转移概率矩阵为(°1)P=U0丿证明：此马氏链不是遍历的马氏链，但具有平稳分布.P1、(01)<10]JU°丿<01丿证明：p2==Ep3=p.p2=pDI1En为偶数r=vPft为奇数•••limP"不存在HT8•••此马氏链不是遍历的马氏链。由IL[on<⑴‘叫）（10丿=山，叫）VpVj>0得（岭，叫）=（£，*）即y=VP,V=（11）•为马氏链的平稳分布.221.一个开关有两种状态：开或关，设它现在开着时，经过单位时间G）后，它仍然开着的概率为丄，关上的概率为丄；当它现
10、在关着时，经过单位时间G）后它仍然关着的概率22为丄，它打开的概率为丄.假设开关的状态转移只在0,l,2,3,・・・（s）时进行.设r=0时，44开关开着.求/=3时，开关关着和开关开着的概率.解：设X⑴表示在r时刻开关即处的状态.0表示关着，1表示开着.{X（r）}为一齐次马氏链.其一步转移概率矩阵为（31）044戶=qq1丄丄52>由已知，初始分布A=（l,o）所求概率为绝对分布R=R・P35一163-811165一821-64113243一6421一32(21<3232>9111t=3时，开关关着和开关开着的概率分别为乂，
11、—32322.甲乙两人进行比赛，设每局比赛甲胜的概率为p,乙胜的概率为q,和局的概率为广，p+q+归,设每局比赛后胜者记“1”，分负者记“-1”分，和局记“0”分.当两人中有一个获得2分时，结束比赛.以X（n）表示比赛至第n局时，甲获得的分数.{X（n=0,1,2,・・・}是一个齐次马氏链.（1）写出此马氏链的状态空间；（2）写出状态转移矩阵；（3）计算2步转移矩阵；（4）问在甲获得1分的情况下，再赛2局就结束比赛的概率为多少？解:（1）£={-2,-1,0,1,2}（2）状态转移矩阵-2-1P=012q00000rp0qf
12、p0qr0000、00Pb-2,2为吸收壁.(3)<10000q+wpq+r~S+q)厂0P2=2qr2pq+r22prp202qrpq+r2pr+p<00001(4)甲获得1分的情况下,再赛2局就结束比赛的概率为P=PH^2=Pr注：甲在获得1分的情况下，在2局之内就结朿比赛的概率为片2⑵=P+pr1.A、B、C三家公司决定在某一时间推销一新产品.当时它们各拥有丄的市场，然而一年3后，情况发生了如下的变化：(1)A保住40%的顾客，而失去30%给3,失去30%给C；(2)B保住30%的顾客，而失去60%给A,失去10%给C；(
13、3)C保住30%的顾客，而失去60%给失去10%给3.如果这种趋势继续下去，试问第2年底各公司拥有多少份额的市场？(从长远来看，情况又如何？)解：设｛X(/?),n=0,l,2,・・・｝表示第n年从市场屮抽収一件该新产品为某公司的产品。｛X(/i)^=0J,2,-｝为齐次马氏链。其状态空间E=｛A,B,C｝。一步转移概率矩阵<0.4().3().3、P=0.60.30」k0.60」().3;"0.520.240.24、p2=0.480.280.24k0.480.240.28丿V2=%・P(2)=丄(1.48,0.76,0.76)
14、即第二年底A、B、C三家公司的市场份额为-(1.48,0.76,0.76)3由性质5,此马氏链存在极限分布。由即从长远来看，4、B、C三家公司的市场份额为g扌扌）。1.一质点沿圆周游动，圆周上按顺时针等距排列五个点0,1,2,3,4,把圆周分成五格。质点每次游动
