中考数学教学指导：浅谈运用质点分析法构建模型解题

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1、浅谈运用质点分析法构建模型解题著名美国数学家和数学教育家G波利亚在《怎样解题》中，提出了弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾反思四大解题步骤•其中，“弄清问题”是根本.笔者把它换称为质点分析,质点又分为一般质点和核心质点•一般质点是指题目给出的一些基本的数、形、式等以及它们所隐含的数、形、式等原始元素，核心质点是指和问题求解联系最紧密的数、形、式等思维元索，它关联到解题模型的设计和解题的过程，从而达到优化解题策略，掌握数学内在的解题规律.现结合两道不同背景的线段求解题，探讨如何运用质点分析法來弄清问题，以及构建模型求解问题.一、矩形背景下线段

2、求解问题1如图1,矩形ABCD中，AB=4y/6yAD=，连结BD,ZDBC的角平分线BE交DC于点E现把ABCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的BC'E,当射线BE'和射线BC'都与线段AD相交时，设交点分别F,G.若山“为等腰三角形，则线段DG长为・1•质点分析一弄清问题一般质点:四边形是已知矩形以及边长，由此还知道，矩形的角为直角，ZDBC的角平分线为BE,因为ZBEC的度数不是特殊值，因而，度数不具有分析意义.BE是角的平分线，所以可以求出CE的长，加上ZC是直角，据此想到两个直角三角形相似模型求线段，也可以想到三角函数模型求线段.

3、核心质点：BCE绕点B逆时针旋转后，若ABFD为等腰三角形可知，BF=DF,ZFDB=ZFBD,还有隐含的条件是ZDBG=ZGBD=ZEBC,这是非常有用的条件.2.构建模型一拟定计划分析一般质点和核心质点的关联性，这是构建求解模型的关键•也就是通过分析质点，拟定计划的过程.一般质点里分析的条件有，一个平分角，直角，三个边长的值，而核心质点分析的条件是角的等量关系.如果通过辅助线作出直角三角形的话，自然想到相似三角形模型和两数模型求解问题了.这个环节就是控制我们的思路，用顽强的意志不断强化我们的解决问题的步骤和方法.这一点，尤其重要.3.

4、解题过程一实现计划(1)相似三角形模型过点G作GH丄BD,可以得到RtADGH:RtABDC.因为BC:B£>=10:14,所以，DH:GD=5J,再过点G作GM=GD,得到MH=DH.ZGMD=ZGDM=2ZEBC•因为ZGMD=ZGBM+ZBGM,所以ZGMD=2ZGBM得到ZGBM=ZBGM,GM=BM.1498设DH=5x,则MH=5x,BM=lx.而BD=14,得到兀=一，60=7兀=乙.1717(2)函数模型-•般地，在直角三角形里，正弦、余眩、正切函数具有同等意义.如果是一般三角形,首选余弦函数，本题可以首选正切函数，探讨直角

5、边更方便些.过点G作GH丄,如图2.因为BE是ZDBC的平分线，心10,DC=4尿込14,所以,醫磊CE*易得,tanZEBC=

6、^：W,tanZ^C=4^：10.又乙GBDy,DH=i4-y所以,tan=tanZDBC—4亦~WtanZGBH=tanZEBC=-=^—,解得y101770因为cosZDBC=10:14,cosZGDH=—=J2-=—,得到DG=—.GDDG1417二、圆背景下线段求解问题2如图3,半圆的直径为5,弦AC=3,眩AD平分ZCAB与圆交于D,求AD的长.1•质点分析一弄清问题一般质点:基本图形是半圆，AB为直径

7、，自然想到直径所对的圆周角是直角，根据勾股定理求解线段.核心质点：AD平分ZCAB,想到角平分线上的一些定理，平分角相等，平分线上的点到两边的距离相等•线段AD的长取决于的性质，D点交于圆上，可以利用圆的一些性质来分析，如等角对等边，半径相等，对D的分析是关键，通过D点的不同辅助线的作A0BE图4法，可以有多种解法(如图4).2.构建模型一拟定计划综合质点分析，有角平分线出现的等角关系，有圆周角是直角，再加上作直角辅助线,这样，可以运用直角三角形相似模型求解;其次，在直角三角形ABC中，易知三边长，利用函数模型也可以简便求值3•解题过程一实

8、现计划(2)相似三角形模型D点是一个关键质点，通过D点作出不同的辅助线，就有不同的思路.思路1,连结0D；思路2,作DH丄AB；思路3,连结DB,如图5；思路4,延长BD与AC延长线相交，如图6.不论哪一种思路，都可以解答出来.ABEB下面以图5为例，给出解答过程.由题意，知AB=5,AC=3,则BC=4.Arcf在直角AABC中，ZC为直角，4D平分ZCAB,所以一=—,解得CE=L5.Q—AE=yjAC2+CE2=-^5.2由AD平分ZCAB,得ZCAE=ZDABf故RtCAE:RtDAB,得ADAB(2)函数模型连结OD,图7,因

9、为=,所以ZDAO=ZADOZDOB=ADAO+ZADO=2ADAO.图7由AD平分ZCAB,得ZCAB=2ZDA0,则ZDOB=ZCAO.Ar33在RtAABC中,cosZCA