浅谈简单几何模型的构建及运用

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1、浅谈简单几何模型的构建及运用赵国清近几年来，简单几何模型在中考数学中有着广泛的运用。为了指导学生搞好中考复习，本文对简单几何模型的含义、构建及运用作些探讨。一、简单几何模型的含义这里所说的简单几何模型，指的是从实际问题中抽象构建出的或从数学问题中人为构造出的简单图形。它具有两个重要特征：1、这种简单图形必须是我们熟悉的、为解题目标服务的“工具”。2、它必须是能够沟通题设与结论的“桥梁”。二、怎样构建简单几何模型1、根据实际问题的题意抽象构建相应的图形，把实际问题转化成几何题，再利用相关的知识与方

2、法解之，从而解决实际问题。2、由于数学问题中的条件太分散或太隐蔽，此时不妨人为地构造新的图形，或把分散的条件集中起来，或把隐蔽的条件挖掘出来，或巧妙地沟通题设与结论的联系，使原问题获解。三、例举简单几何模型的运用。1、三边关系模型5例1、（2009年·陕西）如图，在锐角△ABC中∠BAC=45°∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点、则BM+MN的最小值是-----------------。分析：此题的条件与结论之间的联系不明显且条件太分散，我们不妨构造全等三角形和三边关系

3、模型解之即在AC上取一点E，使AE=AN则△AME≌△ANEMN=ME连接BE，则ME+BM≥BE而E是AC边上的动点，当且仅当BE⊥AC时，BE最小，最小值为4。即MN+BM的最小值为4。1、直角三角形例2、（2009年、天津）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离。现测得AC=30m，BC=70m∠CAB=120°请计算A.B两个凉亭之间的距离.5分析：为了沟通BC、∠BAC和AB之间的联系，不妨构造直角三角形解之。即过C点作CD⊥AB交BA的延长线于D、

4、由∠CAB=120。得∠CAD=60、从而有∵∴从而即A、B之间的距离是50m1、全等三角形例3、（2008年、鄂州市）如图，△ABC中，∠BAC=45。，AD⊥BC于D、BD=6，CD=4则高AD的长是------------------。分析：此题看似简单，实则较难，难在条件∠BAC=45○如何用？我们不妨作BE⊥AC于E，则可证△AEF≌△BECAF=AC=10而△BDF∽△ADC∴AD（AD—10）=24∴AD=122、相似三角形例4、（2008年、云南）如图，在直角坐标系中，半圆直径为

5、OC、半圆圆心D的坐标为（0，2）、四边形OABC是矩形、点A的坐标为（6，0）、5（1）略（2）若过A和B的切线分别与半圆相切于P1，P2（点P1，P2与点O，C不重合）、请求出点P1，P2的坐标、并说明理由。分析：在2008年的云南省中考中，此题的得分率较低，原因是学生很难找到解决问题的突破口。我们不妨构造相似三角形解之。连接DP1和DA，过P1作P1M⊥OA于M，P1N⊥OC于N，则△P1ND∽△P1MA∴又由△AP1D≌△AOD得AP1=OA=6设P1（x，y）则，解之：即P1（）由于P

6、1与P2关于直线y=2对称∴P2（）2、圆例5、如图，四边形ABCD中，已知AB=AC=AD且∠BDC=15°则∠BAC=---------分析：由AB=AC=AD知：B、C、D三点在同一个圆上5于是构造以A为圆心，以AB为半径的⊙A。这样就有∠BAC=2∠BDC=30°1、抛物线例6、已知一元二次方程ax2-（2a+6）x+2=0的一个根大于1，而另一个根小于1、求实数a的取值范围。分析：令y=ax2-（2a+6）x+2（a≠0）构建抛物线解之、由已知得：当a＞0时，x=1时的函数值小于0、即

7、a-（2a+6）+2＜0从而a＞4当a＜0时，x=1时的函数值大于0、即a-（2a+6）+2＞0从而a＜0综上所述：实数a的取值范围是：a＞4或a＜0在这里需要说明的是：简单几何模型不是孤立的，而是综合性的运用。教学及中考复习时，我们应该以题论题、合理构建、抛砖引玉，最有效地培养和提高学生的解题能力。5