运用数学思维指导学生解题

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1、运用数学思维指导学生解题运用数学思维指导学牛解题王海钺(陕西省平利县正阳乡九年制学校725500)【摘要】根据数学思维的简洁性，探索解题捷径；根据数学思维的和谐性,启迪解题思路；根据数学思维的奇异性，突破解题常规;根据数学思维的对称性,简化解题过程。【关键词】数学；解题；思路；方法【中图分类号】G63362【文献标识码】B【文章编号】1005-9646(2009)02-0130-011根据数学思维的简洁性,探索解题捷径许多数学问题，其表面形式都很复杂,但其木质总是存在简单的一面,在解题过程中，应当引导学生认真观察问题、分析问

2、题，找到问题的木质特征，寻求简捷解法。例1已知方程(a2-2b2)x2+(2b2-2c2)x+2c2-a2=0有两个相等的实数根,求证：a2=b2+c2o这类题一般是用判别式定理证，但那样运算非常繁冗，根据数学思维的简洁性,可以另寻简捷证法。仔细观察可发现，该方程各项系数和为零，从而知道方程必有一根为1,乂因方程两根相等，故两根均为于是由韦达定理得:a2—2b2=2c2-a2,即a2=b2+c2o这种证法抓住了问题的要害，证明过程简捷明快。2根据数学思维的和谐性，启迪解题思路解数学题的关键在于把原问题转化为一个更容易解决的问

3、题，而实现转化的依据就在于原问题在其木质上的统一。数学的和谐性为我们实现这种统一指引了方向,为打通解题途径奠定了基础，一个和谐的命题往往可启迪我们的解题思路。例2己知x22-12+y222-32+z22-52+u222-72=l,x242-12+y242-32+z242-52+u242-72=l,x242-12+y242-32+z242-52+u242-72=l,x262-12+y262-32+z262-52+u262-72=l,x282-12+y282-32+z282-52+u282-72=l求x2+y2+z2+u2的值。

4、已知的四个方程井然有序，从直觉可以感到，贸然通分，分别求解x2、y2、z2、u2,势必运算浩繁。题目的和谐性启发我们可以另寻解题途径。认真观察对比，可以从方程的严整的规律中发现四个方程中22、42、62、82是关于t的方程x2t2-12+y2t2-32+z2t2-52+u2t2-72的四个根，把这个方程去分母，整理得：t4-(x42y2+z2+u2+12+32+52+72)t3+…二0。由四次方程的韦达定理得：x2+y2+z2+u2+12+32+52+72二82+62+42+22,∴x2+y2+z2+u2=82

5、-72+62-52+42-32+22-12=8+7+6+5+4+3+2+l=36o命题的和谐性启迪我们寻找到新的解题思路。实际上，解题过程就是一个和谐地协调各种关系，使其转化统一而达到结论的过程。2根据数学思维的奇异性，突破解题常规数学题有一般的规律性和一般的解题模式，但每个数学题又都有各自特殊的性质,这些特殊的性质构成了数学思维的奇异性。因此在求解某些问题时，可突破常规思路，找到别开生面、出奇制胜的解法。例3、比较：3229,1211,9689,1615的大小。用常规方法是化成同分母后比较分子的犬小，但这样运算量太人，通分

6、太困难，那么反过来统-分子如何呢？3229=9687;1211=9688;1615=9690;而9787>9698>9689>9690,3229>1211>9689>1615.3根据数学思维的对称性，简化解题过程对称性在数学中是普遍存在的，利用对称的观点去处理问题，往往可以从问题的一部分自然联想起与此对称的另一部分，从而使问题化繁为简，化难为易。例4、CD和BE分别是AABC是∠ACB和∠ABC的外角平分线，CD⊥AD,AE⊥BEc求ED的长。从图形中看ED和BC可能是平行的，于是猜想ED

7、是某个三角形的中位线，想象中的三角形是哪个三角形呢？已知中有对称的条件，由对称不难想到把AABE沿BE翻折到ABEF,把AADC沿DC翻折到△GDG,这样就得到了一个完整的三角形AFG,而且容易证明ED就是ZiAFG中位线，所以ED=12(a+b+c).在平面几何题中，当图形是一个轴对称图形或图形的某些部分关于直线对称吋,常通过对称变换构造对称图形，使分散的条件相对集中，以沟通已知和未知的关系，打通解题途径。