浅谈逆向思维在数学解题中的运用

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1、浅谈逆向思维在数学解题中的运用在日常的做题过程屮，人们往往习惯于沿着正方向去思考问题并寻求解决问题的办法。其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从求解回到己知条件，反过去想或许会使问题解答过程得以简单化。逆向思维，不仅可以开拓解题者的视野，还可以提高学生解题的灵活性。下面我们不妨借助具体的实例来分析逆向思维在高中数学解题中的运用。例1己知函数f(X)=(m-1)x2-mx+2是偶函数，试比较f(0.75)与f(a2_a+l)的大小。解：由f(x)二(m-1)x2-mx+2,可得f(-x)二(m-1)x2+mx+2,又f(x)为偶函数，所以(山-1)x2-mx+

2、2二(m-1)x2+inx+2。则m二0,所以f(x)二-x2+2,所以f(x)在［0,+°°)上为减函数。又a2-a+l=(a-0.5)2+0.7520.75,所以f(0.75)2f(a2-a+l)o点拨：本题若将数据直接代入解析式，运算量较大，上述解答利用题设的条件先确定出函数解析式，再利用求得的函数解析式的单调性来比较两函数值的大小。例2求值Ig22+lg51g2+lg5o解：原式二lg2(Ig2+lg5)+Ig5=lg2+lg5=lgl0=lo点拨：木题初学者很可能觉得无从下手，因为我们不知道lg2,lg5的具体数值。解好此题的关键是熟知対数的运算律，采

3、用逆向思维，将Ig2+lg5二1这一结论整体代入，可使得本题得以解决。例3若不等式ax2+bx+2〉0的解集是x

4、-B

5、sina-coscio

6、dj0°<2a<90°,可知0。sina。即原式二cosa-sinQ。点拨：木题是对三角公式平方关系的逆用，欲化简此类带根式的问题,需将被开方部分巧配成完全式的结构，才可能把被开方部分从根式中开出来，需要注意的是，开出来时要考虑被开方数的符号。例5已知函数y二lg(ax2+2x+l)值域为R,试求a的范围。解：山题意知其真数部分ax2+2x+l应能取到一切正数，所以，当-0时，显然符合题意；当aHO时，只需Q0,方程ax2+2x+l二0的△》()，解得0故综上可得0W&W1。点拨：学生容易把此题和求解此类定义域问题相混淆。本题主耍考查

7、了对数函数的定义域及二次函数的性质。山函数的值域为R可反推出其真数部分应能取到一切的止数，从而找出本题的突破口。例6甲、乙、丙、丁四名射击运动员同时向某一H标射击，若他们各自单独命屮目标的概率依次是0・8,0.85,0.9,0.95,请问该目标被击中的概率是多少？解：设“该目标被击中”记作事件A,则它的对立事件为“四人都未击中目标”，其发生的概率是(1-0.8)X(1-0.85)X(1-0.9)X(1-0.95)=0.00015,故P(A)=1-0.00015=0.999850点拨：木题是求一个相互独立事件同时发生的概率，目标被击中的对立事件是S标不被击中。H标

8、不被甲击中的概率乘以H标不被乙击中的概率再乘以不被丙击中的概率，再乘以不被丁击中的概率，即为目标不被击中的概率，再用1减去可得到结果。本题正面运算的话，需进行分类讨论,运算量较大，而此解答利用逆向思维可避免分类讨论。解决数学问题时，要具体问题具体対待，寻求最简捷的解法，特别是利用逆向思维的转化，可培养学生思维的灵活性和条理性，更冇利于培养学生的发散思维，拓宽学生的知识面，增强学生解决问题的能力。解决数学问题，当从正面入手思考，不太容易解决时，我们不妨借助逆向思维，重新组织解题思路，只有这样，我们在解决数学问题时才可能做到游刃有余。（作者单位：河南省驻马店第二高级

9、屮学）