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《中考数学复习指导：一个数形结合模型及其在解题中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、—个数形结合模型及其在解题中的运用先介绍一个数形结合模型.代数式可表示成两直角边分别为x和3的直角三角形斜边长，、/（12-尤）2+4可表示成两直角边分别为12—兀和2的直角三角形斜边长，、/7+9+7（12-x）2+4表示成两斜边长Z和，J/+9+7（12-x）2+4的最小值就是两斜边长Z和.这里，两个直角三角形各有一条直角边长不变，另一个直角边之和为一个常数.构造图形如图1・CD=2+9、CE=7（12-x）2+4,CD+CE二Jx2+9+J（12-兀）?+4,而+CE2DE,所以C〃+CE的最
2、小值为QE的长，如图2.而C7H-CE的最小值为DE•的长，根据图3可求出DE=752+122=13,此时x的值可通过△DAC竺5EBC,—,即BCBEX2=—，解得x=4.8.12-x3我们通过代数式转化为图形（斜边的边长），结合图形，运用三角形两边之和大于第三边，两点之间线段最短性质得出最短位置，再根据勾股定理及相似知识进行计算.下面谈谈该模型在解题中的应用.一、模型应用1.在直线上找一点，到两已知点距离和最小例1如图4,桌上有一圆柱形玻璃杯，高12cm,底面周长18cm,ABCD是它的轴截面，
3、在杯内壁离杯口3cm的Q处（即BQ=3）有一滴蜜糠，一条小虫从桌上爬至杯子外壁,当它正好爬至相对方向离桌面3cm的P处（即DP=3）时，突然发现了蜜糖，问小虫至少要爬多少路才能到达蜜糖所在的位置？图4分析把圆柱侧面展开，如右图所示.小虫在外壁P,—定要通过杯口即展开图中线段BC上一点H到内壁Q,要求PH+HQ的最小值.按照上述模型解题思路，第一步求出PH、的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用勾股定理知识解决.解设CH=af・・•BC二9,・・・BH=9~a；又BQ二3,CP=9.HQ二J
4、(9_d+32・•・PH+H0=J/+9?+J(9-a)?+32・根据代数式构造图形如图5.PH+HQ的最小值为PQ=V92+122=15.1.在一条直线上找一定长线段，使它两端分别到两己知点距离和最小例2如图6,在平面直角坐标系屮，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在无轴、y轴的正半轴上，04=3,0B二4,D为边0B的中点.若E、F为边04上的两个动点，且EF=2,当四边形CDEF的周长最小吋，求点£、F的坐标.分析先在04上任意找两点E、F,连结DE、CF,得到四边形CQEF.分析
5、题目，四边形CQEF周长等于DE+EF+FC+CD,而CD与EF长不变，故只要DE+CF和最小.按照上述模型解题思路，第一步求出DE、CF的代数式，第二步画出对应图形，第三步根据图形运用相似三角形知识解决.解设E(a,0)、F(q+2,0),故OE=a,AF=7>-(a+2)=~a.因为D是OB的中点，所以0D=2.又因为AC=4,所以DE+CF二+2?+J(l_a)?+42。根据代数式构造图形，如图7.TRtAEAC^RtADBC,.ACAE'BC~BD即丄=£,解得—丄,-a43・•・£(-
6、,0)、37F(—,0).3图71.将一图形左右平移，使平移后图像上两点与一个己知点距离之和最小例3如图8,在平而直角坐标系兀O)；中，二次函数y二一/+(加一1)x+4加，的图像与兀轴负半轴交于点A,与y轴交于点3(0,4),已知点E(0,1).如图，将△AEO沿兀轴向右平移得到厶连结A'B、BE1.设AAF,其中0
7、DBC,・・・医二些，即口二，BCBDn3解得n=—.76/•E9(—91).72.将一图形左右平移，使平移后图像上两点分别与两个已知点距离之和最小例4如图10,直线y=2x+6上有两点A(—3.5,对、B(—l,加),y轴上有两点C(0,2)、D(0,3),现将直线)=2x+6左右平移，点A平移后对应点记作"，点B平移后对应点记作歹，若AC+BQ最小，求平移后的直线解析式.解易求出〃=1,加=4.设直线向右平移°个单位，A'(-3.5+g,1)、B，(-1+g,4),A'C+B'D二J(3.5-。
8、尸+F+J(1一q)2+1?.因为3.5—a与1—d的和不是一个常数，而(1—«)2=(«—I)?,故AC+BQ二J(3.5-d)2+r+7(t/-l)2+l2・根据代数式构造图形，如图11.•・•RtAEAC〜RtZXDBC,...竺二些，即土£」，解得“2.25,A需要将直线向右平移2.25个单位,BCBDa-1平移后的直线为y=2(x—2.25)+6,即)=2x+l.5.1.综合应用例5如图12,已知点A(-4,8)和B(2,尬在抛物线尸上.(1)求。的值及点
