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《中考数学复习指导：一个最值模型在解题中的运用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一个最值模型在解题中的运用模型如图1,P是＜30外的一点，直线PO分别交＜30于点A、B,则PA是点P到OO上的点的最短距离.证明如图2,在OO上任収一点C（不为点A、B）,连结PC、0C.VPO＜PC+OC.PO=PA+OA,OA=OC,・・・PA＜PC.APA是点P到＜30上的点的最短距离，结论圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连结这点与圆心连线与圆交点之间的距离.这一结论可以在解题中加以应用，以提高解题效率.一、图屮有图可直接应用例1如图3,在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于点D,P是劭上的一个动点，连结AP,则AP的最小值是.解析点A
2、为定点，点P为动点且在圆弧上运动，显然这不同于我们常见的可利用垂线段最短的知识来解决的“一定一动型”最值问题.联想到我们所探究的模型，可知，当AP所在直线过圆心时，AP值最小.如图4,在RtAACO中，AO=JAC'+OC?=V5.*.AP=AO-OP=V5-1.例2如图5,菱形ABCD中，ZA=60°,AB=3,（DA、G）B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD及OA和＜3B上的动点，则PE+PF的最小值是.解析P是边CD±动点，E、，分别是G)A和OB±的动点.题设中出现三个动点，求PE+PF最小值给人一种山重水复疑无路的感觉，若借助于模型，那么便柳喑花明，豁然开朗了，PE与PF
3、的最小值一定是过圆心的直线与圆交点的时候，考虑到点A和点B是定点，点P为CD上动点，这样问题转化为“一定两动型”的“将军饮马”问题.如图6,作点B关于CD的对称点区，连结AB，与CD的交点就是所要求的点P,此吋PE+PF最小，易知PAB为等边三角形，则PE+PF的最小值为3+3—1—2=3.评析例1和例2都可以直接借助模型解决问题.这类问题图屮有圆，为思考问题提供了方向性和目的性.例1结构相对简单，也易找到解决问题的着眼点；例2是三个动点所形成的两条动线段之和的最小值问题，解决这类问题吋要善于以静制动，动中窥静，也就是说去寻找动点运动过程中不变的量，借助模型易知，在点P、E、F在运动过程中
4、，PE所在直线过圆心A,所在直线过圆心B时，PE和PF分别取得最小值，将点E和点F的动,转化为点A和点B的静，使问题迎刃而解.二、图中无圆可构造应用例3如图7,在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AAMN沿MN所在的直线翻折得到△ArMN,连结AC,则AC长度的最小值是.解析由折叠知A*M=AM,又M是AD的中点，可得MA=MA'=MD,故点A，在以AD为直径的圆上.如图8,以点M为圆心，MA为半径画OM,过点M作MH丄CD,垂足为H由模型可知，当点A，在CM上吋，AC长度取得最小值.在RtAMDH中，DH=DM・c^sZHDM=-2MH=DM
5、•sinZHDM=—2在RtACHM中，CM=./MH1+CH2例4如图9,E,F是正方形ABCD的边AD±两个动点，满足AE=DF.连结CF交BD于点G,连结BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是解析点E、F是正方形ABCD的边AD±两个动点，初看无从入手，但结合题设中AE=DF,易证自然我们联想到点H运动轨迹，是以AABE^ADCF,得ZABE=ZDCF.由正方形的对称性，知AADG^ACDG,得ZDAG=ZDCF,则ZDAG=ZABE.VZBAE=90°.・・・ZDAC+ZBAH=9()°,则ZBAH+ZABH=90°,.ZAHB=90°.也就是说定线段AB
6、所张开的角ZAHB=90°AB为直径的圆.如图10,以AB为直径作OM.要求DH的最小值,根据模型易知，当点H在DM上时，DH取得最小值.在RtAAMD中，DM=^AM2+AD2=/l1+22=点,评析例3和例4都是以四边形为背景，探寻动线段的最小值，此两题看似无“圆”却有“圆”.例3是折叠问题，在折叠过程屮，始终保持保持动线段A，M=1aD.根据“圆2是到定点的距离等于定长的点的集合”，自然联想到点A，的运动轨迹为以AD为直径的圆周，从而运用模型使问题轻松获解，例4图形结构较为复杂，解决这类问题时，我们应根据题目的具体条件，充分挖掘题目中所隐含的信息，进行合理的联想，从而寻找到解题的切入
7、点，就此题而言，借助以往的解题经验，我们不难得出ZAHB=90°,从而联想到构造辅助圆，再利用模型加以解决就显得游刃有余.近年各地中考中，频频出现这类动态几何背景下求一条线段长度的最值问题.解决这类问题需要我们结合题意，借助相关概念和图形，层层递进，步步为营去挖掘题目的内涵,从不同的角度思考，然后自主构建相关模型，并找到解决问题的捷径.
