构建数学模型 提升解题能力

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1、构建数学模型提升解题能力　　《数学课程标准》指出，教学应结合具体的数学内容，采用“问题情境――建立模型――解释、应用与拓展”的模式展开.所谓数学建模，简而言之，就是建立数学模型的过程，包括对实际问题进行提炼、抽象、简化，以及确立、求解、验证、解释、应用和拓展数学模型的过程.在建模过程中，引导学生要不断思考，不断对各种信息进行加工、转换，同时要不断激活原有的知识经验，对当前问题作出分析、推论、综合、概括，形成假设，并对假设进行验证，从而建构自己的知识经验，形成自己的见解，建立一定的模型，这一过程为数学思维训练提供了理想的途径.数学模型的解释、应用，不能将模型看做确定的算法或

2、思维程序进行机械的记忆、复述与应用，而必须灵活、合理地选择解决问题的策略.笔者以一道中考试题为例，采撷几例，分析如何运用这种模型来提升学生的解题能力.　　一、模型来源　　题目（2007年南昌市）实验与探究　　（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C的坐标，它们分别是，，.　　图1图2图3（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；　　图4图5归纳与发现7　　（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探

3、究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（a，b），B（c，d），C（m，n），D（e，f）（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为（不必证明）.　　运用与推广　　（4）在同一直角坐标系中有抛物线y=x2-（5c-3）x-c和三个点G（-112c，512c），S（112c，912c），H（2c，0）（其中c>0）.问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标.　　解析：（1）平行四边形在直角坐标系中顶点坐标从

4、数字过渡到字母，通过在图2中求顶点C的坐标，可探索在图3中求顶点C坐标的方法.可得（e+c，d），（c+e-a，d）.　　（2）探索从特殊位置下四个顶点的横坐标之间关系和纵坐标之间关系是否在一般情况下成立？如图5，分别过点A、B、C、D作x轴的垂线，垂足分别为A1、B1、C1、D1，分别过A、D作AE⊥BB1于E，DF⊥CC1于点F.在平行四边形ABCD中，CD=BA，又因为BB1∥CC1，所以∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°，得∠EBA=∠FCD.又因为∠BEA=∠CFD=90°，所以△BEA≌△CFD.所以AF=DF=a-c，BE=

5、CF=d-b.设C（x，y）.由e-x=a-c，得x=e+c-a.由y-f=d-b，得y=f+d-b.所以C（e+c-a，f+d-b）.　　（3）归纳可得规律：m=c+e-a，n=d+f-b或m+a=c+e，n+b=d+f.　　（4）将运用结论解决有关数学问题，分类讨论有三种情况.7　　若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P1（-2c，7c）.要使P1在抛物线上，则有7c=4c2-（5c-3）×（-2c）-c，即c2-c=0.所以c1=0，c2=1.此时P1（-2，7）.　　若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P2（3c，2c），同理可得c=1，此时P2（3，2）

6、.　　若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得P3（c，-2c），同理可得c=1，此时P2（1，-2）.　　综上所述，当c=1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形.符合条件的点有P1（-2，7）、P2（3，2）、P3（1，-2）.　　点评：此题既遵循了学生学习认知的规律，又遵循了数学演绎发展的规律，学生从简单到复杂，从特殊到一般，从结论的产生到结论的应用过程中来探索发现，提示共性规律，体现了课题学习倡导一种理念；在能力的考查方面，考查了学生的直觉思维，类比思维和创新能力，引导学生做课题学习，丰富了学生的探究问题的经验；渗透了数形结合思想、分

7、类讨论和类比思想；试题呈现方式采用了从研究问题不同阶段来陈述，设问以平行四边形的顶点坐标系为主线，进行层层递进，最后完成探究的全过程，整题探究过程类似于发现定理.　　二、模型归纳7　　细细品味，此题犹如一杯醇香的美酒，令人回味，更令人引发遐思与思索.笔者在教学中发现，解答一类与抛物线和平行四边形相关的综合性试题，运用该题的结论显得简捷、思路清晰.现把上述第（3）问的结论小结如下.　　图6如图6无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD）时，