中考数学复习二次函数(1)——由动点生成的特殊三角形问题

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1、抛物线与直线形(1)——由动点生成的特殊三角形问题知识点归纳抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：(1)抛物线上的点能否构成等腰三角形；(2)抛物线上的点能否构成直角三角形；(3)抛物线上的点能否构成相似三角形；解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。经典例题【例如图，抛物线y=处2-5做+4经过AABC的三个顶点，已知BC〃兀轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴；(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式；(3)探究：若点P是抛物线

2、对称轴上且在兀轴下方的动点，是否存在APAB是等腰三角形？思路点拨对于(3)只需求出P点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。【例2】已知抛物线y=kx1+2kx-3k,交兀轴于A,B两点(A在3的左边)，交y轴于C点，且丿有最大值4.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P,使APBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.思路点拨对于(2),设P点坐标为(a,b),寻找相似三角形，建立b的另一关系式，解联立而得到的方程组，可求出b的值。【例3】抛物线3；=--(x-l)2+3与y轴交于点A,顶点为B,对称轴BC与兀

3、轴交于点C•(1)如图1.求点A的坐标及线段0C的长；(2)点P在抛物线上，直线PQ//BC交兀轴于点Q,连接BQ.①若含45。角的直角三角板如图2所示放置.其中，一个顶点与点C重合，直角顶点£＞在BQ上，另一个顶点E在P0上.求直线的函数解析式；②若含30。角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上,另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标.思路点拨对于(2),解题的关键是求出CQ的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现C、D、Q、E四点共圆，可使问题获得简解。【例4】如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)的顶点为C(l,4),交x轴于A,B两

4、点，交y轴于点、D,其中点B的坐标为(3,0)・(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为2,若直线P0为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点使D,G,H,F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G,H的坐标;若不存在，请说明理由；(3)如图3,在抛物线上是否存在一点过点卩作x轴的垂线，垂足为点M,过点M作MN//BD,交线段AD于点7V,连接MD,使UNMBMD?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.思路点拨对于(2),因DF是一个定值，故需使DG+GH+HF最小

5、即可，从轴对称入手;对于(3)由题意知ZNMD=ZBDM,要使ADNMs“BMD,只要使山禮=—,MDBD即MD2=NMBD；或从角入手得到隐含的相似三角形。同步训练1.如图1,已知抛物线的顶点为A(2,l),且经过原点0,与兀轴的另一个交点为(1)求抛物线的解析式；(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O,C,D,B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；(3)连接OA,AB,如图2,在兀轴下方的抛物线上是否存在点P,使得AOEP与AOAB1.如图，已知抛物线与x轴交于A(-l,0),B(3.0)两点，与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；

6、(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得APDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M是抛物线上一点，以B,C,D,M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标・1.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C(一1,0).如图所示，B点在抛物线歹二*/+*兀一2图象上，过点B作BD丄X轴，垂足为D,且B点横坐标为一3・(1)求证：NBDC三NCOA；(2)求3C所在直线的函数关系式；(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使AACP是以AC为直角边的直角三角形？若存

7、在,求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与兀轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A(l,0),C(0,—3)・(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).①如图1.当PBC面积与ABC面积相等时.求点P的坐标;②如图2.当ZPCB=ZBCA时，求直线CP的解析式.3.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax1+加+3与x轴的两个交点分别为A(-3,0),5(1,0),过顶点C作CH丄兀轴于点(1)直接填写：a=,b=,顶点C的坐