中考数学二次函数动点问题-由面积产生地函数关系问题

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1、实用标准文档由面积产生的函数关系问题例12013年菏泽市中考第21题如图1,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?图1动感体验请打开几何画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,

2、可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点.请打开超级画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点.思路点拨1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.满分解答(1)由,得A(0,3),C(4,0).由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).

3、将B(-4,0)、D(8,3)分别代入,得解得,c=-3.所以该二次函数的解析式为.(2)①设点P、Q文案大全实用标准文档运动的时间为t.如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO=.当PQ⊥AC时,.所以.解得.图2图3②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.由于S△APQ=,S△ACD=,所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ=.所以当AP=时,四边形PDCQ的最小值是.考点伸展如果把第(2)①题改为“当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?”除了PQ⊥AC这种情况,还有QP⊥AD的情况.这时,所以.解得(如图

4、4所示).图4文案大全实用标准文档例22012年广东省中考第22题如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.(1)求AB和OC的长;(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).图1动感体验请打开几何画板文件名“12广东22”,拖动点E由A向B运动,观察图象,可以体验到,△ADE的面积随m

5、的增大而增大,△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,E在AB的中点时,△CDE的面积最大.思路点拨1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.满分解答(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).所以AB=9,OC=9.(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.所以.而,AE=m,文案大全实用标准文档所以.m的取值范围是0<m<9.图2图3(3)如图2,因为DE//CB,所以.因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.所以.当时,△CDE的面积最大,最

6、大值为.此时E是AB的中点,.如图3,作EH⊥CB,垂足为H.在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.在Rt△BEH中,.当⊙E与BC相切时,.所以.考点伸展在本题中,△CDE与△BEC能否相似?如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.文案大全实用标准文档例32012年河北省中考第26题如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、

7、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.发现请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.图1图2动感体验请打开几何画板文件名“12河北26”,拖动点D由A向C运动,观察(m+n)随x变化的图象,可以体验到,D到达G之前,(m+n)的值越来越大;D经

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