§14-7 多元函数的极值与最大(最小)值

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1、§14-7多元函数的极值与最大(最小)值一、多元函数的极值及其判定法1极值与极值点的定义（P：270——271）定义设在点的某个领域内有定义，若对于该领域内的任意点，均有则称为的极大值（或极小值），且为函数的极大值点（或极小值点）极大值或极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点例如（1）在（0，0）取到极小值（但在（0，0）处都不存在；）(2)在点处取到极大值，（在处有二、二元函数极值的必要条件和充分条件定理1（极值的必要条件）设在点的某个领域内偏导数存在，且是极值点，则必有（6.1）（切线平行与X轴，Y轴）定理1结合图形由一元函数极值的必要条件得出：满足（6.1

2、）的点叫做的驻点，此定理可以推广到二元以上难道函数，例如，偏导数存在的三元函数它在点取到极值的必要条件为具有偏导数的函数的极值点一定的驻点，但是驻点不一定是极值点（正如一元函数一样）例如在点（0，0）处，有但既不是极大值，也不是极小值。进一步判定二元函数的驻点是不是极值点？是极大点还是极小点？给出：定理2（极值的充分条件）设在驻点的某个领域内具有连续的二阶偏导数，若记，那么（1）若，则不是极值（2）若，且当A（或C）时，则是极大值；当A（或C）〉0时，则是极小值（3）若，则可能是极值，也可能不是极值。证明不要求例1求的极值（在D内偏导数都存在）6.2最大值，最小值问题函数

3、的最大（最小）值（1）可能在区域内部取得（即为极大或极小值）（2）可能在区域边界上取得因此只要求出所有驻点，偏导数不存在的点和区域边界上的点函数值，进行比较。在实际问题中，如果在定义域D的内部只有一个可能取得极值的点，且根据题意最大（小）值一定在D的内部取得，此时即可断定就是最大（小）值例2某企业生产两种型号的产品，两种产品的每件成本分别为0.001元和0.02元，每日需求量其中和各为两种产品的销售价（单元：元/千件）试决定合适的价格使工厂日总利润最大三、条件极值与拉格郎日乘数法多元函数的极值有两种：（1）无附加的约束条件，如例1（2）且受附加的约束条件的限制，如例2（2

4、）中的极值称为条件极值求条件极值有两种方法（1）从约束条件中解出一个变量来，代入函数成为无条件极值问题（2）拉格郎日乘数法（以二元函数在约束条件下的极值来推动无条件极值了，但有时不一定可能解得出，即使可能，有的也很复杂，如例10-——31的解法（3）求在约束条件下的极限这个方法叫做拉格郎日乘数法，F叫做拉格郎日函数，叫做拉格郎日乘数，此法对于多个变量回多个约束条件的情形也适用例如（1）在在条件，引入（2）在条件，引入，其中是拉格郎日乘数例3用拉格郎日乘数法接P：285例10——30求原点到曲面的最短距离。注意：此题把约束条件解出代入转化为求的数值，因为解得（Z=）故解不出

5、讲解P：287—288例10—32此例若从中解得代入求这个二元函数的极值也比较麻烦作业:P7614,15