函数的极值与最大、最小值

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1、第十节函数的极值与最大、最小值一、函数的极值及其求法二、最大与最小值问题一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义设f(x)在区间(a,b)内有定义,x0(a,b),若对任意的xU(x0,)(a,b)且xx0,有(1)f(x)f(x0),则称f(x0)是f(x)的一个极小值,称点x0为f(x)的一个极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.例如x=1为极大值点,f(1)=2是极大值;x=2为极小值点,f(1)=2是极小值.例如x=0

2、为极小值点,f(0)=0是极小值.注意:函数的极值是函数的局部性质.x1,x4,x6为极小值点,x2,x5为极大值点,x3不是极值点.例2.函数极值的求法注意:例如,函数的驻点及不可导点称为可疑极值点.函数的不可导点,也可能是函数的极值点.定理1(极值第一充分条件)设函数f(x)在点x0处连续,在点x0的某去心邻域内可导,(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:(1)求驻点及不可导点(3)求极值(2)检查在这些点左右的符号,判断是否为极值点例1解极大值极小值不存在是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理2(极值第二充分条件)证例2解是极大值点，其极大值为

3、是极小值点，其极小值为注意:例如x=0不为极值点.x=0为极小值点.例解例3二、最大值、最小值问题1.最值的求法求最值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;则其最值只能在极值点或端点处达到.2.应用举例例1解计算比较得例说明:由于g(x)与f(x)最值点相同,因此也可通过求g(x)的最值点来求f(x)的最值点.最大值,最小值的特殊情形:1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.例3三角形AB

4、C的底为a,高为h,求内接的最大矩形面积.实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例4解如图,解得三、利用最值证明不等式不等式证明方法小结：(1)利用中值定理,(2)利用单调性,(3)利用函数凸性,(4)利用最值.三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为可疑极值点函数的极值必在可疑极值点取得.极值判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.利用最大、小值证明不等式定理(判别法的推广)则:且1)当n为偶数时,x=x0为极值

5、点,且x=x0为极小值点;x=x0为极大值点.2)当n为奇数时,x=x0不是极值点.但点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.点(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点.思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．练习题练习题答案思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但练习题练习题答案