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1、函数极值及其求法函数最值及其求法函数最值在经济中的应用第五节函数的极值与最大最小值一、函数极值及其求法oxyy=ƒ(x)Mmab设函数y=ƒ(x)在[a‚b]内图形如下图:而在处的函数值比它附近各点的函数值都要大;但它们又不是整个定义区间上的最小、最大值,而且比它附近各点的函数值都要小;为此,我们引入函数极值与极值点的概念.1.极值的定义x=x0称为ƒ(x)的极大值点.,则称为函数ƒ(x)的极小值.称为ƒ(x)的极小值点.,则称为函数ƒ(x)的极大值.定义1恒有内有定义，设y=ƒ(x)在邻域极值的研究
2、是微积分产生的主要动力之一我们将函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.注3由极值定义知:极值是函数的局部性态.它只是极值点的函数值与极值点附近的函数值相比较而言的,故它只可能在(a,b)的内部取得.注4在闭区间[a,b]内,一个连续函数可能有若干个极小值或极大值,却最多只有一个最大值M与最小值m,而且最大值一定在极大值点或端点取得,最小值一定在极小值点或端点取得.注1x0为极值点,ƒ(x0)为极值,极值是极值点处的函数值.注2在区间(a,b)极值不一定是最值,但最值一定是极值.定
3、理1(极值的必要条件(费马定理))设函数y=ƒ(x)在点x0处可导.若x0为的极值点,(即为极值).则x0为函数的驻点,即2.极值的必要条件证设为极值(不妨设为极大值),则存在x0的一邻域当时,有当时,有当时,有注2定理条件是必要而非充分的,即可导函数的极值点一定是导数为0的点,导数不为0的点一定不是极值点.反过来,导数为0的点可能是极值点可能不是(驻点未必是极值点),所以我们要找极值点可先从导数为0的点中找.注1定理的几何意义:可导函数的图形在极值点处的切线是与x轴平行的(罗尔定理).oxy则x=0
4、为f(x)=x3的驻点.但是,x=0不是f(x)=x3的极值点.如注3并不是所有驻点包含了所有的极值点,极值点还可能出现在导数不存在的点处(即导函数无意义的点).如函数y=
5、x
6、,x=0是函数的连续不可导点.但x=0是函数的极小值点.如图.oxy=
7、x
8、y注4综上所述,函数的极值点应从导数为0和导数不存在的点中找,这些点包含了所有的极值点.(是极值点情形)(不是极值点情形)定理2(极值存在的第一充分条件)设函数y=ƒ(x)在3.极值存在的充分条件内连续,在内可导.根据如下定理对导数为0和导数不存在的点
9、判别是否为极值点.此定理可简单叙述为:设x0为连续函数ƒ(x)的可能极值点,若若在x0的两侧保号,则x0不是ƒ(x)的极值点.证由极值的定义及定理1可证.当x从x0左侧变到右侧时,变号,则x0为ƒ(x)的极值点.求极值的步骤:例1求函数解x故函数有极大值函数有极小值ƒ(1)=0.此函数的单调性在前面已讨论,现重新列表如下:x故函数有极大值ƒ(0)=0.函数有极小值解练一练解例2求函数的单调区间和极值.故x=0为f(x)的极小值点.为直观列表如下：x由上表可看出,函数ƒ(x)在区间(-∞,0)内单调递减
10、,在区间(0,+∞)内单调递增,且ƒ(x)的极小值为当函数在驻点处的二阶导数存在且不为0时,也可用下面定理来判定ƒ(x)在驻点处取得极大值还是极小值.定理3(极值存在的第二充分条件)证及极限的保号性定理知只证(1)由于设函数y=ƒ(x)在点x0处的二阶导数存在,若则x0是函数ƒ(x)的极值点;值.且时,则x0处为极小值点;为极小值;时,则x0处为极大值点;为极大值.为函数的极利用二阶导数判断极值点的另一种方法：的邻域内由负变到正,则由定理2知,ƒ(x)在x0处取得极小值.从而当时,定理4失效,只能改用
11、定理3确定.注2定理4是用于判别一阶导数为0,而二阶导数不为0的点x0是否为函数极值点的方法.对于判别导数不存在的点是否为极值点不适用.注1时,则x0是否为极值点尚需进一步判定.此时x0可能是极大值点,可能是极小值点,也可能不是极值点.是f(x)=x3的极值点,但是,x=0是f(x)=x4的极小值点,x=0是h(x)=-x4的极大值点.它们在x=0点处的一阶导数和二阶导数都为0,但是,x=0不如解例7故定理3比定理4更普遍(只需点连续即可).求函数的极值.解练一练不是极值点,故只有极小值解例3求函数的
12、极值.在许多经济理论与实际实际应用中,常常遇到这样一类问题:在一定条件下,怎样使:“产品成本最低”,“产品用料最省”,“效率最高”等问题.这类问题在数学上有时可归纳为求某一函数的最大值和最小值问题.函数ƒ(x)的最值与极值是两个不同的概念,最值是对整个定义域而言的,是整体性的;极值是局部.最值不仅可以在[a,b]的内点取得,也可以在[a,b]的端点取得;极值只可能在(a,b)的内点取得,即极值点只在区间的内部取得,不能在端点取得.二、函数的最值及其求法最
