函数的极值与最大、最小值(II)

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1、第十节函数的极值与最大、最小值一、函数的极值及其求法二、最大与最小值问题一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义一、函数的极值及其求法1.函数极值的定义设f(x)在区间(a,b)内有定义,x0(a,b),若对任意的xU(x0,)(a,b)且xx0,有(1)f(x)f(x0),则称f(x0)是f(x)的一个极小值,称点x0为f(x)的一个极小值点.函数的极大值与极小值统称为极值,极大值点

2、与极小值点统称为极值点.例如x=1为极大值点,f(1)=2是极大值;x=2为极小值点,f(1)=2是极小值.例如x=0为极小值点,f(0)=0是极小值.注意:2)对常见函数,极值可能出现在导数为0或不存在的点.1)函数的极值是函数的局部性质.例x1,x4,x6为极小值点,x2,x5为极大值点,x3不是极值点.2.函数极值的求法注意:例如,函数的驻点及不可导点称为可疑极值点.函数的不可导点,也可能是函数的极值点.定理1(极值第一充分条件)设函数f(x)在点x0处连续,在点x0的某去心邻域内可导,

3、(是极值点情形)(不是极值点情形)求极值的步骤:(1)求驻点及不可导点(3)求极值(2)检查在这些点左右的符号,判断是否为极值点例1解极大值极小值不存在是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为定理2(极值第二充分条件)证例2解是极大值点，其极大值为是极小值点，其极小值为注意:例如x=0不为极值点.x=0为极小值点.例解例3二、最大值、最小值问题1.最值的求法求最值步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;则其最值

4、只能在极值点或端点处达到.1.求;2.求的点和不存在的点:3.计算4.比较上述值的大小,有:2.应用举例例1解计算比较得(k为某一常数)例2.铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:设则令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.总运费物从B运到工厂C的运费最省,从而为最小点,问Km,公路,例例说明:由于g(x)与f(x)最值点相同,因此也可通过求g(x)的最值点

5、来求f(x)的最值点.最大值,最小值的特殊情形:1)如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)3)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.例3三角形ABC的底为a,高为h,求内接的最大矩形面积.实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例4解如图,解得利用最值证明不等式不等式证明方法小结：(1)利用中值定理,(2)利用单调性,(3)利用函数凸性,(4)利用最值.hR三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大

6、于极大值.驻点和不可导点统称为可疑极值点函数的极值必在可疑极值点取得.极值判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.利用最大、小值证明不等式思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．练习题练习题答案思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但练习题练习题答案