两角差的余弦公式课件

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1、《两角差的余弦公式》教学设计一、导入（-）复习提问1.画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。2.如果角a的终边与单位圆相交于点p,点p的坐标用角的三角函数值怎么表示？（-）引入新课木节课我们一起来推导两角差的余弦公式，他们的形式是否和我们以前学过的各个单角的余弦有关？我们可不可以猜测cos（Q-0）=COSQ-cos0?1.让学生通过对角度的具体操作，得到特殊角间上式不成立。已知cos45°=-^-,cos30°=——,曲此我们是否口J以得到cos15°=cos（45°-30°）,二、探讨过程1.用三角函数线证明两角差的余弦公式设角a的终边与单位圆的交点为P},cos<7等于角a与单位圆

2、交点的横坐标，也可以用角©的余弦值表示。思考:我们怎们构造角0与角a-0?（与它们的正弦线和余弦线联系起来）由于要考虑两角差的余弦，所以构造直角三角形，作角的余弦线进行思考。首先考虑，当a,0都为锐角，且a〉0的情况。角6Z的终边与单位圆的交点为P,ZPOP二0,则厶OP=a-0・如下图，作PM丄兀轴，垂足为M，那么0M就是角a-0的余弦线。我们要设法用a,0的正弦、余弦线来表示OM.作PA丄0片于A,过点人作AB丄x轴，垂足为B。作PC丄AB,垂足为C。那么04表示cos0,AP表示sin0,ZPAC=AP^Ox=a□于是有，OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=

3、cosacos0+sinasin0.注意：以上结果是在％0角都为锐角，且Q〉0的情况下取得的。要说明此结果是否在角为任意角是也成立，还要做进一步的推广工作。学生可以自己参与。1.下面运用向量的知识进行探究，利用向量的数量积两种运算形式得出结论。思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差的余弦公式我们可不可以用向量来证明呢？提示：⑴结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎么表示的？⑵怎么利用向量的数量积公式得到探索答案呢？如下两图所示，在平而直角坐标系xOy内作单位圆0,以Or为始边作角％0(不妨设a〉0),它们的终边与单位圆的交点分别为A』，则OA=(cosa,sina

4、r),OB=(cos0,sin0)。由向量的数量积的坐标表示，冇OAOB=cosacos0+sinasin0.①如果a-0w[O,刃时，那么向量页与丙的夹角就是a-p.由向量的数量积定义，冇OAOB=

5、oa

6、cos(a-0)=cos(a—0)・于是cos(a-0)=cosacos0+sinasin0.②当4-0引0,刃时，设鬲与亦的夹角为0,贝IJOAOB=OAOBcos0=cos0=cosacos0+sinasin0.4J*由图⑴可知，q=+0+于是a_f3=2k7c+0,keZ,所以cos(a-0)=cos&由图⑵可知：a-(5=2k7i-0,kgZ,也有cos(a-0)=cos0,所

7、以cos（a一0）=cosacos0+sinasin0.所以，对于任意角Q,0有cos（cr-y?）=cosacosy?+sincrsinp.（%_“））此公式显示了任意角70的正弦、余弦值与其差角Q-0的余弦值Z间的关系，称为差角的余弦公式，简记为（C（汐））。1.比较：比较用几何知识与向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利Z处。三、公式的简单运用/、填空：（l）cos--a-12⑵cos(60°-())=cos60°cos15°+sin60°sin15°(3)cos80°cos10°+sin80°sin10°=例题1.利用两角差的余弦公式求cosl5°的值。解法一：cos

8、15°=cos(45°-30°)=cos45°cos15°+sin45°sin15°V2V3a/21V6+V2=x1x—=22224解法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°学会灵活运用。例题_42.已矢nsin«-—.ag—.715127112'>,cos/7=-—130是第三彖限角，COS（Q_0）的值。解:71由此得cosa--a/1-sin2a-又因为COS0"汐是第三象限角，,.sin^=-71-cos^=-j

9、故，cos(6/一0)=cosacos0+sinasin0四、小结木节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识到公式

10、结构的特征，了解公式的推导过程，在解题过程中要注意角的象限，判断符号，学会灵活运用。五、作业教材习题3.1A组2.3.4题。