两角差的余弦公式

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1、两角差的余弦公式嘉鱼县第一中学陈柳一、内容和内容解析：1、内容：本节课的主要内容是公式的探究及应用，它揭示了单角三角函数与复角三角函数之间的内在联系，在学生的认知世界中，开辟了三角函数研究的新领域。2、内容解析：两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，让学生从“特殊到一般”的探究过程中体会化归、数形结合等数学思想，从而突破本节课的重点和难点：公式的发现和证明。教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果，证明结果两步进行探究,并从简单情况入手得出结果。这样的安排不仅使探究更真实，也有利于学生学会探究。二、目标和目标解析1、掌握两角差的余弦公式，并能简单的运用公式；

2、2、全体学生能理解“探求结果，证明结果”这一常用的探究步骤；多数学生能在两角差余弦公式的探究过程中体会以退为进、割补思想、分类讨论、观察联想等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性。3、能理解怎样运用向量解决问题，充分认识和感受向量的工具价值，感受科学探索的乐趣。三、教学问题诊断分析1、两角差的余弦公式的猜想与证明是一个难点。因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线。2、尽管教材在前面的习题中，已经为用向量法证明两角差的余弦公式做了铺垫，但多数学生仍难以想到。教师需要在引导学生仔细观察的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式

3、，努力使数学思维显得自然、合理。3、用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误，教学时需引导学生搞清楚两角差与相应向量的夹角的联系与区别。四、教学支持条件分析整节课借助多媒体进行辅助教学，为了突破知识难点，在课件中设置多个链接 ，将学生可能出现的解答思路直观地呈现在学生面前，用多种方法的对比呈现，激发学生互相评价动机，实现预计与生成的和谐统一。五、教学过程：活动一：创设情境例：一个斜坡的高为6m,水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．F6m解：W=

4、S=30．问题1：8m1、你能找到哪些与有关的条件?2、怎样利用这些条件求出？　3、更一般地，当、是任意角时，能不能用、生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程．且体会到探究两角差的余弦公式的必要性，明确本节课要研究的课题．的三角函数值表示呢?活动二：合作探究1、明确探究的思路与步骤问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究?（探究的过程可以分两个步骤：第一步探求表示结果，第二步对结果的确良正确性加以证明.）2、探求表示结果问题3：同学们第一反应这个结果可能是什么？如果有学生提出，则引导学生取特殊值验证，

5、同时分析错误的原因：余弦函数名与角之间并不是相乘关系,因此类比乘法分配律是错误的。可根据学生实际情况启发，必要时可为学生搭建一个探究的平台。引导探究：以退为进，先讨论、都是锐角的情况．yOBMxP11ACP1问题4：当、都是锐角时，我们又该怎么办？引导学生在直角三角形或单位圆中构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到。∴（为锐角，且）引导学生弄清探究的思路，学会从宏观到微观、理性地、有条理地思考和探究问题，避免盲目性。鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气．引导学生运用数形结合的思想给出证明．让方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手

6、段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合．问题5：那这个式子是否对任意角、都成立呢？引导学生再用非锐角的特殊角或任意角进行验证。3、证明结果问题6：现在初步结果已经出来，目标和方向已经明确。请同学们仔细观察上面这个式子的构成要素和结构特征。看看从中会得到什么新的发现？引导学生联想到终边与单位圆的交点分别为、，同时发现，进面联想到。（组织学生分组讨论交流，寻找用向量证明的途径和方法）y-1-111BAx0A问题7、如何证明？引导学生关注两个向量的夹角与的联系与区别，并通过观察和讨论弄清。学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识．通过小组讨论，培养

7、学生的合作交流意识。同时让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的优越性。问题8：刚才我们一起经历了完整、曲折的探究过程，回顾一下，大家有什么启发和感悟？对比两种证明方法，你认为哪种更简洁？小结：两角差的余弦公式：（其中为任意角，简记为）问题9：两角差的余弦公式有什么特点？引导学生总结公式的特点：左边是两角差的余弦，右边同名弦的积的和。活动三：知识运用1、解决引例中的问题．2、公式活用：利用差角余弦公式求的值.问题10：你能用一副三角板拼出