216重积分的应用

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1、§6重积分的应用教学目的学会用重积分计算曲面的面积，物体的重心，转动惯量与引力.教学内容曲而而积的计算公式；物体重心的计算公式；传动惯量的计算公式;引力的计算公式.基本要求：掌握曲面面积的计算公式，了解物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式.教学建议：要求学生必须掌握曲而而积的计算公式，物体重心的计算公式，转动惯量的计算公式和引力的计算公式，并且布置这方面的的习题.教学程序一、曲面的面积（一）、定义设Q为口J求面积的平面有界区域，函数/&』）在D上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程z

2、=所确定的曲面S的面积.1.对投影区威D作分割八它把分成料个小区域。（心1,…/）,相应地也将曲面S分成斤个小曲面片S‘（i=l,…,）.在每个S,•上任取一点作曲面在这点的切平面绘，并在®上取岀一小块比，使得人和®在平面上的投影都为6.2.取近似AS严AA,（心1,.・・‘）△S=工ASf.=工AA-3.作和式日匸1nAS4.取极限『“TO用和式右’的极限作为S的面积.（二）、计算公式1.先计算人的面积，因切平面®的法向量就是曲面S在点处的法向量，记它与z轴的夹角为尤，则cosy=.1因人在小

3、平面上的投影为6,所以&OI(nnf而和数戶△4二(cOS儿)二J1+f；&，7)+凭(乙,“J△(Tfx必'"J+人必")°5是连续函数在有界闭区域D上的积分和，故当()时就得到△S名J1+f：(6m)+f；怎，〃，)△5+./7(x，y)+/：(x，y)dxdyDgffdxdyZy=1^7ff.,.(、或△S二Pf

4、cos刃二。

5、cos®⑵.其中cos(y)为曲面的法向量与Z轴的正向夹角的余弦./2222例1求圆锥"aK+v在圆柱体r+内的那一部分的面积.z；(x,y)+z；(x,y)dxd.

6、y解AS二d,Xz.=D^x'^y2

7、y,z)dxdydzJJJz/心,y,z）dxdydzy,z）dxdydzV_V叽,z）clxdydzVxdv厂VVAVW-若Q（x，y，z）为常数，则二AV,y=AV,对平面薄板D的情况，则有,y}clxdy阿,y）dxdyD_DJ"（x，）JdxdyD伽（X,y）dxdyDyP（^y）dxdyD若畑）为常数,JJ如D则x二A£>J“（X，y）dxdyDy=M）例3求密度均匀的上半椭球体的重心.F-F—<1解设椭球体由式/b2c2,zno表示由对称性知归二0,由前节的例5的结果,可得VAV=-

8、7Ulbc33c=T.三、转动惯量质点4对轴I的转动惯量丿是质点4的质量尬和到转动轴I的距离r的平方的乘积，即J=mr当讨论空间物体V的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的方法可得：设空间物体V的密度函数为。（兀』，2）,它对％轴的转动惯量为JJf（y2+才）卩（兀,”z）dxdydz同样地对小平面的转动惯量为HPp(x,y,z)dxdydz对W平面的转动惯量为p(x,y,z)dxdydzyz=v对旷平面的转动惯量为\y2p{x,y,z)dxdydzZX=V对原点的转动惯量为ffj(x

9、2+r+z2)/9(x,y,z)dxdydzJJJ(^2+x2)p(兀,y,z)dxdydzV>2+y2)°(x,”z)clxdydz.-V平面薄板时的转动惯量问题也有类似的公式.例4求密度均匀的圆环D对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量.解设圆环Q为附5/+于5用,密度为。，则J=JH2+y$如=等（R：-；?I4）=y（R；+R：）其中加为I员I环的质量.例5求均匀圆盘D对于其直径的传动惯量解设圆盘为F+bw”密度为°,则2兀R-

10、J-^px2d(J-pJd&J(厂cos&Frdr=—

11、mR1D00A"英中加为圆盘的质量.例6设某球体的密度与球心的距离成止比，求它对于切平面的转动惯量.解设球体由式*+〉，2+八"2表示，密度函数为p=/L2，则它对切平面x=R的转动惯量为J=k+y2+V（x-/?）2dxdydz2兀兀Rkded(p{R-000Vrsin^cos^)2r3sin(pdrUp欣6=9四、引力求密度为的立体对立体外一质量为1的质点人的万有引力.设4的坐标为◎〃《），V屮点的坐标用gy,z）表示。我们用微元法来求y对A的引力，V中质量微元〃加=哪对