9.9圆锥曲线的综合问题

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1、XX第九章平面解析几何§9.9锥曲线的综合问题■]知识梳理要点讲解深层突破1•直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或刃的一元方程：ax2+bx+c=O(或ay2+by+c=0).(1)若gHO,可考虑一元二次方程的判别式有①/>00直线与圆锥曲线相交;②/=0o直线与圆锥曲线担切；③/vOo直线与圆锥曲线相离.⑵若q=0,bHO,即得到一个一元一次方程，则直线/与圆锥曲线E相交，•且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是垃；②若E为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2•圆锥曲线的弦长设斜率

2、为k(^0)的直线/与圆锥曲线C相交于A(xlfp),B&2,夕2)两点，则AB=y[T±P]x2【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交.(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.⑶过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一

3、个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)(1)直线/与抛物线y22直线y=kx-k+与椭圆专+亍=1的位置关系为.答案相交解析直线y=kx-k+=k(x~])+恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.22若直线y=kx与双曲af-f=1相交，则k的取值范围是•答案(弓I)=2px只有一个公共点，则/与抛物线相切.(X)⑵直线y=kx(

4、k^O)与双曲线x2-y2=l一定相交.(X)(1)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点.(V)(2)直线与椭圆只有一个交点o直线与椭圆相切.(V)2⑸过点(2,4)的直线与椭圆亍+尸=1只有一条切线.(X)(6)满足“直线y=ax+2与双曲线x2~y2=4只有一个公共点”的。的值有4个.(V)考点自测解析22双曲线等一亍=1的渐近线方程为尸快速解答自查自纠若直线与双曲线相交，数形结合，得圧(一审3.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有条.答案3解析过(0,1)与抛物线y2=4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有1条，这

5、3条直线与抛物线都只有一个公共点.4.己知倾斜角为6()啲直线/通过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线相交于力、3两点，贝IJ弦AB的长为.答案16解析直线I的方程为y=y/3x+1,y=y[3x+¥=4尹得y2—14y+1=0.设A（X.尹1）,3（兀2，丿2），则71+^2=14,C.AB=y+yz+p=14+2=16.225.（2014-山东）已知双曲线孑一#=1（g>0,b>0）的焦距为2c,右顶点为抛物线x2=2py（p>0）的焦点为只若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,WFA=c,则双曲线的渐近线方程为答案y=±x解析抛物线的准线y=-，焦点彳0,另,/+⑨2=(

6、2.设拋物线的准线y=~^交双曲线于2由①②③，得/=2.解得作1./.双曲线的渐近线方程为y=±x.