2018年高考数学一轮复习专题9.9圆锥曲线的综合问题（讲）

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1、第九节圆锥曲线的综合问题【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测圆锥曲线的综合问题（1）会解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的问题。(2)了解方程与曲线的对应关系和求曲线方程的基本方法。（3）理解数形结合、用代数方法处理几何问题的思想。了解圆锥曲线的简单应用。2013•浙江文22；理21；2014•浙江文17,22；2015•浙江文19；理19；2016•浙江文19；理19；2017•浙江21.1.考查直线与椭圆的位置关系；2.考查直线与抛物线的位置关系；3.考查直线与圆、圆锥曲线的综合问题,如取值范围、最值、定值、定点、存在性问题等.4.备考重点：(1)掌握圆、椭圆、双曲线、

2、抛物线的定义、标准方程、几何性质；（2）熟练掌握常见直线与圆锥曲线综合问题题型的解法；（3）利用数形结合思想，灵活处理综合问题.【知识清单】1.圆锥曲线中的定点、定值问题圆锥曲线中定值、定点问题的求解方法圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．定值问题的求解与证明类似，在求定值之前，已经知道定值的结果(题中未告知，可用特殊值探路求之)，解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清，定值显现．对点练习：【2016高考新课标1卷】设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过

3、B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）（）（II）【解析】试题解析：（Ⅰ）因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范

4、围为.2.圆锥曲线中的最值与范围问题与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中Δ的范围，方程中变量的范围，角度的大小等；二是将要讨论的几何量如长度、面积等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值，在解题过程中注意向量、不等式的应用．对点练习：【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则

5、AB

6、+

7、DE

8、的最小值为A．16B．14C．12D．10【答案】A3.圆锥曲线中的

9、探索性问题探索性问题的求解方法：先假设成立，在假设成立的前提下求出与已知、定理或公理相同的结论，说明结论成立，否则说明结论不成立．处理这类问题，一般要先对结论做出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证．若推出相符的结论，则存在性随之解决；若推出矛盾，则否定了存在性；若证明某结论不存在，也可以采用反证法．对点练习：【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。【答案】(1)。(2)证明略。【解析】（2）由题意知。设

10、,则，。由得，又由（1）知，故。所以，即。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F。【考点深度剖析】圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点．命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题．命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点．【重点难点突破】考点1圆锥曲线中的定点、定值问题【1-1】【2016年高考北京理数】已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭

11、圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.【1-2】【2016高考山东理数】平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;