【精品】论文—幂指函数

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1、幕指函数及其性质研究数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级徐指导教师杨志春摘要：幕指函数是一类非常重要的函数，它在高等数学的学习过程和实际生活屮会经常遇到。因此，更进一步的了解和掌握幕指函数的各种性质，对于解决一些实际问题非常重要。同吋为了将函数的学习更好的进行下去，也有必要将幕指函数作进一步的讨论。本文主要讨论了幕指函数的极限的性质并给出了幕指函数求极限的方法，同时本文也讨论了幕指函数的导数、微分、积分的一些性质。这样更有利于我们对幕指函数这一类特殊的函数进行更进一步的学习与研究。关键词:幕指函数；极限；导数；微分；积

2、分；Abstract：Thepowerexponentialfunctionandisaveryimportantfunction,itisfrequentlyencounteredinthelearningprocessofthehighermathematicsandreallife.Therefore,furtherunderstandandmasterthepowerexponentialfunctionandthenatureisveryimportantforsolvingsomepracticalproblems

3、.Meanwhile,inordertofunctionlearningbettertoproceed,itisnecessarytopowerexponentialfunctionandtheLimitofthemethod,thearticlealsodiscussessomepropertiesofthepowerexponentialfunctionandthederivative,differentiation,integration-Thisismoreconducivetothepowerexponentialf

4、unctionandaspecialfunctionforfurtherstudyandresearch・Keywords:powerreferstothefunction;limits;derivative;differentiation;points;数学分析和高等数学的教材中涉及的幕指函数的内容非常少，仅仅只给出了幕指函数的定义及一些求导公式，而且相应的例题与课后习题也很少。然而幕指函数的一些知识在其它的一些教材、参考资料以及近些年的研究生入学考试中却又经常出现，于是对于幕指函数的一些性质作更进一步的了解与掌握是非常必要

5、的。所以本文就幕指函数的极限、导数及微积分性质进行了一些研究及应用，希望通过对幕指函数这些性质学习能够对幕指函数有更加深刻的认识和了解。2预备知识幕指函数的学习是高等数学学习过程中的一个难点，而关于幕指函数的问题也是我们经常容易岀错的问题.为此我们有必要对幕指函数进行一些研究.为了达到这一目标，给出了一些相关的定义和要用到的引理.这些定义和引理在下文对研究幕指函数的极限性质，幕指函数的导数性质，幕指函数的微分性质，幕指函数的积分性质将起到一定的作用.定义2.1［，］设两个函数/(町和g(x)的定义域为D,形如/(x)4r)(/

6、(x)>0)的函数，称为定义在区域D上的幕指函数.定义2.2［2］设y是无穷小量(它可以是函数也可以是数列)，如果yo(xx0).定义2.3冋设y和z都是无穷小量(它们可以是函数也可以是数列)：1)若0或2,称y关于Z是高阶无穷小量，也称Z关于y是低阶z乙无穷小量，记作y=o(z)・2)若丄a［a0),就称y和z是同阶无穷小量.一般地，若存在常数A>0,B>0,变量y和z自某值后有ABz就称y和z是同阶无穷小量，记作y=O(z)或'=°(勿・3)丄T1时，称y和z是等价无穷小量，记为y~z.z特别当丄Ta{a工0)时，y和血是

7、等价无穷小量.z引理2.1⑷若lim子⑴二°,&(«)在°点连续，则limg(/(x))=g(lim/&)]=g(a).注此引理对兀TX；,兀—>兀爲兀—>+00,X—>-00，以及X—>00都成立.例函数/(x)=sinx是(-oo,+oo)上的连续函数，函数g(x)=l+F也是(-卩+00)上的连续函数，那么由引理2.1可知函数/(g(x))=sin(l+x2)是(_GC,+OO)上的连续函数.引理2.2设在%=x0的领域内/⑴和g(x)连续，口/⑴〉0,当兀TX。吋,g(Q~0(x),则有lim[/(x)]^W=(兀)严

8、)X—>X()XTX。证明lim[/(x)]gW=lime,n[/W^)XTX。X~>X0limln[/(x)p(x)=于》0limg(x)ln/(x)g(x)〜0(x),即恤卑Ui.f0PX)而limg(x)ln/(x)=lim^^0(x)ln/(x)=lim0(兀)ln