【备战2017】高考数学（精讲+精练+精析）专题6.3数列的综合问题试题（江苏版）（含解析）

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1、专题3数列的综合问题【三年高考】1.[2016高考江苏20】记U={1,2,L,100},对数列{匕}(心N*)和U的子集八若7=0，定义Sr=0；若T={/“,…，tk},定义ST=ati+at2+•••+%・例如:T={1,3,66}时，ST=a{+a3.现设&}(朋Nj是公比为3的等比数列，R当T={2,4}时，S产30.(1)求数列{色}的通项公式；(2)对任意正整数W<100),若丁匸{1,2,…，可,求证:StS+]；(3)设Cc(/,De(7,Sc>SD,求证：Sc+ScnD>2SD.【答案】(1)(2)详见解析(3)

2、详见解析【解析】试题分析：(1)根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；(2)根据子集关系，进行放缩,转化为等比数列求和；(3)利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设A=^(CDD),B=D(CnD),,则AAB=0,因此由SC>SD^SA>SB,因此AUB中最大项必在方中,由(2)得SA>2SbSc—ScnD>2(Sd-ScnD)Sc4-SC^D>2SD.试题解析：(1)由已知得禺=%3巴応U.于是当T={2.4}时,Sy=勺+①=划+2九]=30d]・又Sr=30,故30^=30,即°】=1・所以数

3、列｛①｝的通项公式为=3"屮已"•・(2)因为T匚｛12…用，^=3^>0=weN所以Sr+=1+3+-•+3t-1=^-(3"-1)<3■因此?Sy<4・(3)下面分三种悄况证明.①若D是C的了集，则Sc+Scqd=Sc+S»»S»+SD=2Sd•②若C是D的子集，则Sc+Sew=S（：+sc=2SC>2Sd.③若D不是C的子集，J1C不是D的子集.令E=cndt/D,F=DCdL!C则Eh0,Fh0,£AF=0.于是Sc=SE+SewSD=Sh.+5cnD,进而由Sc>SD,得SE>SF.设k是E中的最大数，/为F中的最大

4、数，则k>lj>l,k^l.由(2)知,SE

5、=al2Sd.【考点】等比数列的通项公式、求和【名师点睛】木题有三个难点：一是数列新定义，利用新定义确定等比数列的首项，再代入等比数列通项公式求解；二是利川放缩法求证不等式，放缩的冃的是将非特殊数列转化为特殊数列，

6、从而可利川特殊数列的性质，以算代征：三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.2.【2014江苏，理20】设数列｛an｝的前”项和为S〃.若对任意的正整数〃，总存在正幣数加，使得S”=q“，则称｛色｝是数列”•(1)若数列｛©｝的前n项和为S”=2“(皿M),证明：仏讣是“H数列”.(2)设｛色｝是等差数列，其首项勺=1,公差dvO,若｛线｝是“H数列”，求d的值：(3)证明:对任意的等差数列｛色｝,总存在两个数列”｛%｝和匕｝,使得an=bn+cn(neN#)成立.【答案】(1)祥见解析；(2)d=-；(

7、3)祥见解析.【解析】(1)首先⑷当77>2时，=—S,t=2"—2"T=2"T,所以色二『：：=1，,所2",/i>2,以对任意的nwN*,Sn=T是数列｛色｝中的斤+1项，因此数列｛色｝是“H数列”.(2)由题意d”=l+(n—l)d,Stl=n+n(n~l)d,数列｛色｝是“H数列”，则存在keN*,使斤+如-l)d=i+伙_i)d,£=□+如_1)+],由于如_讥N*,又kwNJ则!-gZ对2d22d一切正整数7?都成立，所以d=-l.(3)首先，若dn=bn4是常数)，则数列0｝前〃项和为以=巴二匕方是数列0｝中的第巴匸U

8、项,因此｛<｝是“H数列”，对任意的等差数列⑺”｝,d”=q+S—1)〃(d是公差)，设bn=na｝,q=(d—q)02—l),则而数列｛仇｝,2“｝都是“//数列”，证毕.nS2.[2013江苏，理19】设&｝是首项为乩公差为〃的等差数列(狞0),S是其前刀项和•记仇=—^+c"WN*,其中C为实数.⑴若c=0,且屈,bi,爲成等比数列，证明:Snk=nSAkf用N*)；(2)若｛加是等差数列,证明:c=0.【答案】(1)详见解析.(2)详见解析.【解析】证明：由题设，S”=〃+"ST)d.”2Cw_1⑴由c=o,得亿=」=Q+二

9、d・又因为5,厶成等比数列，所以b?=bb(d2(3八-aa+—dI2丿{2丿即n2,化简得&—2ad=Q・因为伴0,所以〃=2&因此,对于所有的〃应N*,有S„=ma.从而对于所有的W，〃WN*,有Snk=(/?A)2a=nA2