2020版高考数学第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积学案文（含解析）新人教A版

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1、第二节　空间几何体的表面积与体积2019考纲考题考情1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r＋r)＋π(r1＋r2)l。(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。(2)V锥体＝Sh。(3)V台体＝(S′＋＋S)h，V圆台＝π(r＋r1r2＋r)h，V球＝πR3(球半径

2、是R)。1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a。(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝。(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。一、走进教材1．(必修2P27练习T1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．

3、1cmB．2cmC．3cmD．cm解析　由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，得r2＝4，所以r＝2(cm)。答案　B2．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47。答案　1∶47二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面

4、所成角为30°。若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________。解析　由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高。设圆锥的母线长为l，则由SA⊥SB，△SAB的面积为8，得l2＝8，得l＝4。在Rt△ASO中，由题意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2。故该圆锥的体积V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π。答案　8π4．(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A．π　　　　B．C．　　　　D．解析　由题可知球心为圆柱的中心，则圆柱底面圆的半

5、径r＝＝，故圆柱的体积V＝πr2h＝。答案　B三、走出误区微提醒：①由三视图不能还原几何体求错体积；②不会分类讨论致误；③长度单位与体积单位换算出错。5．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3。解析　根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m。故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2(m3)。答案　26．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　　)A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋

6、1)或8π(3π＋2)解析　分两种情况：①以长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，所以S底＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3，所以S底＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)。故选C。答案　C7．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为(　　)A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2

7、尺D．48丈6尺解析　设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B。答案　B考点一规则几何体的表面积与体积【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)A．12πB．12πC．8πD．10π(2)(2019·南宁、柳州联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗