1、课时作业40 空间几何体的表面积与体积1．(2019·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( D )A．4π＋96B．(2＋6)π＋96C．(4＋4)π＋64D．(4＋4)π＋96解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.2．(2019·福建质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( C
2、)A．64－B．64－8πC．64－D．64－解析：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－＝64－.故选C．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( C )A．36πB．64πC．144πD．256π解析：∵S△OAB是定值，且VO-ABC＝VC-OAB，∴当OC⊥平面OAB时，VC-OAB最大，即VO-ABC最大．设球O的半径为R，则(
3、VO-ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，∴R＝6，∴球O的表面积S＝4πR2＝4π×62＝144π.4．(2019·河南濮阳一模)已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( D )A．B．5πC．6πD．解析：取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝，CQ＝，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝，表面积为4πR2＝，故选D
4、． 5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的体积为V2，则＝( B ) A．B．C．D．解析：由三视图可知多面体ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为A．∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，∴V1＝VE-FMC＝VM-EFC＝·a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝.6．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一
5、个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为( A )A．B．C．D．解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0＜a＜，0＜h＜2.于是＝，h＝2－A．令f(a)＝V长方体＝a2h＝2a2－a3，∴f′(a)＝4a－3a2，当f′(a)＝0时，a＝.易知f(a)max＝f＝.∴材料利用率＝＝，故选A．7．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体
6、由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( B )A．90πB．63πC．42πD．36π解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝×32×π×14＝63π，故选B．8．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为( B )A．B．C．D．解析：设球O的半径为R，因为S△AOC＋S△BOC＝R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以当∠AOC＝∠BOC＝90°时，S△AOC＋S△BOC
