2020版高考数学第七章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积学案理（含解析）新人教A版

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1、第二节　空间几何体的表面积与体积2019考纲考题考情1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r＋r)＋π(r1＋r2)l。(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。(2)V锥体＝Sh。(3)V台体＝(S′＋＋S)h，V圆台＝

2、π(r＋r1r2＋r)h，V球＝πR3(球半径是R)。1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差。(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等。2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a。(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝。(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1。一、走进教材1．(必修2P27练习T1

3、改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A．1cmB．2cmC．3cmD.cm解析　由题意，得2πl×＝2πr，l＝2r，S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)。答案　B2．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体

4、积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47。答案　1∶47二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为。SA与圆锥底面所成角为45°。若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________。解析　如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′。△SAB的面积为·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4。因为SA与圆锥底面所成角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4×＝2。所以圆锥的侧面积为π×

5、AS′×AS＝π×2×4＝40π。答案　40π4．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)A．10　　　　B．12C．14　　　　D．16解析　该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体，其直观图如图所示，各个面中有两个全等的梯形，其面积之和为2××2＝12。答案　B三、走出误区微提醒：①由三视图不能还原几何体求错体积；②不会分类讨论致误；③长度单位与体积单位换算出

6、错。5．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3。解析　根据三视图可知该四棱锥的底面是底边长为2m，高为1m的平行四边形，四棱锥的高为3m。故该四棱锥的体积V＝×2×1×3＝2(m3)。答案　26．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为(　　)A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解析　分两种情况：①以长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，

7、r＝2，所以S底＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3。所以S底＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)。故选C。答案　C7．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺3寸，容纳米2000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为(　　)A．1丈3尺B．5丈4尺C．9丈2尺D．48丈6尺解析　设圆柱底面半径为r尺，高为h尺，

8、依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B。答案　B考点一规则几何体的表面积与体积【例1】　(1)(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)