2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第八节曲线与方程学案理（含解析）新人教A版

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1、第八节　曲线与方程2019考纲考题考情1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的对应关系：(1)曲线C上点的坐标都是这个方程的解。(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。2．求动点的轨迹方程的基本步骤(1)建系：建立适当的平面直角坐标系。(2)设点：轨迹上的任意一点一般设为P(x，y)。(3)列式：列出或找出动点P满足的等式。(4)代换：将得到的等式转化为关于x，y的方程。(5)验证：验证所得方程即为所求的轨迹方程。1．“曲线

2、C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件。2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点。一、走进教材1．(选修2－1P37A组T3改编)已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)A．双曲线B．椭圆C．圆D．抛物线解析　由已知

3、MF

4、＝

5、MB

6、，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是

7、以点F为焦点，直线l为准线的抛物线。答案　D2．(选修2－1P37A组T4改编)已知⊙O方程为x2＋y2＝4，过M(4,0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB中点P的轨迹方程为________。解析　根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分。以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±)。结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)。答案　(x－2)2＋y2＝4(0≤x<1)二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅱ节选)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的

8、垂线，垂足为N，点P满足＝，求点P的轨迹方程。解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，由＝，得x0＝x，y0＝y，因为点M(x0，y0)在椭圆C上，所以＋＝1，因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2。三、走出误区微提醒：①混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；②忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”。4．平面内与两定点A(2,2)，B(0,0)距离的比值为2的点的轨迹是________。解析　设动点坐标为(x，y)，则＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆。答案　圆5．设动圆M与

9、y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________。解析　若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1,0)与到定直线x＝－1的距离相等，其轨迹是抛物线，且＝1，所以其方程为y2＝4x(x>0)；若动圆在y轴左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x<0)。故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)。答案　y2＝4x(x>0)或y＝0(x<0)6．已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________。解析　由角的平分线性

10、质定理得

11、PA

12、＝2

13、PB

14、，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)。答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)考点一直接法求轨迹方程【例1】　已知△ABC的三个顶点分别为A(－1,0)，B(2,3)，C(1,2)，定点P(1,1)。(1)求△ABC外接圆的标准方程；(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E，F两点，求弦EF中点的轨迹方程。解　(1)由题意得AC的中点坐标为(0，)，AB的中点坐标为，kAC＝，kAB＝1，故AC中垂线的斜率为－，AB中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y－＝－x，AB的中垂线的方程为y－＝

15、－。由得所以△ABC的外接圆圆心为(2,0)，半径r＝2＋1＝3，故△ABC外接圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9。(2)设弦EF的中点为M(x，y)，△ABC外接圆的圆心为N，则N(2,0)，由MN⊥MP，得·＝0，所以(x－2，y)·(x－1，y－1)＝0，整理得x2＋y2－3x－y＋2＝0，故弦EF中点的轨迹方程为2＋2＝。1．若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验。求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点。2．若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可

16、；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形。【变式训练】　已知坐标平面上动点M(x，y