2020版高考数学第八章平面解析几何第六节双曲线学案理（含解析）新人教A版

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1、第六节　双　曲　线2019考纲考题考情1．双曲线的概念平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距。集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a，

11、F1F2

12、＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}。(1)当a＜c时，M点的轨迹是双曲线。(2)当a＝c时，M点的轨迹是两条射线。(3)当a＞c时，M点不存在。2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对

13、称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

14、A1A2

15、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

16、B1B2

17、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1．双曲线定义的四点辨析(1)当0<2a<

18、F1F2

19、时，动点的轨迹才是双曲线。(2)当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。(3)当2a＝

20、F1F2

21、时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线。(4)当2a>

22、F1

23、F2

24、时，动点的轨迹不存在。2．方程－＝1(mn>0)表示的曲线(1)当m>0，n>0时，表示焦点在x轴上的双曲线。(2)当m<0，n<0时，表示焦点在y轴上的双曲线。3．方程的常见设法(1)与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)。(2)若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)。一、走进教材1．(选修2－1P61A组T1改编)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________。解析　设双曲线的焦点为F1，F2，

25、PF1

26、＝4，则

27、

28、PF1

29、－

30、PF2

31、

32、＝2，故

33、PF2

34、＝6或2，又双曲线上的

35、点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝－1>2，故

36、PF2

37、＝6。答案　62．(选修2－1P61练习T3改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为____________。解析　设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)。所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2,0)。所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1。答案　x2－＝1二、走近高考3．(2018·浙江高考)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)A．(－，0)，(，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－)，(

38、0，)D．(0，－2)，(0,2)解析　由题可知双曲线的焦点在x轴上，因为c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2,0)，(2,0)。故选B。答案　B4．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________。解析　不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝2。答案　25．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，

39、则C的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析　由y＝x，可得＝。　①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。　②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程为－＝1。故选B。答案　B三、走出误区微提醒：①忽视双曲线定义的条件致误；②忽视双曲线焦点的位置致误。6．平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________。解析　由

40、PF1

41、－

42、PF2

43、＝6<

44、F1F2

45、＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支。答案　双曲线－＝1的下支7．坐标原点为对称中心，两坐

46、标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________。解析　若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2；若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝。综上可得e＝2或e＝。答案　2或考点一双曲线的定义及应用【例1】　(2019·江西联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左，右焦点分别为F1，F2，