2020版高考数学第八章平面解析几何第6节双曲线讲义理（含解析）新人教a版

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1、第6节　双曲线考试要求　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于

4、F1F2

5、且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M

6、

7、

8、MF1

9、－

10、MF2

11、

12、＝2a}，

13、F1F2

14、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若ac时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几

15、何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图　形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度

16、A1A2

17、＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度

18、B1B2

19、＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[微点提醒]1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e＝＝＝.3.等轴双曲

20、线的渐近线互相垂直，离心率等于.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)(3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)(4)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.(　　)(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线).(　　)解析　(1)

21、因为

22、

23、MF1

24、－

25、MF2

26、

27、＝8＝

28、F1F2

29、，表示的轨迹为两条射线.(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m＜0，n＜0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√2.(选修2－1P62A6改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________________.解析　设双曲线方程为：x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求双曲线方程为－＝1.答案　－＝13.(选修2－1P61A1改编)已知双曲

30、线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.解析　设双曲线的焦点为F1，F2，

31、PF1

32、＝4，则

33、

34、PF1

35、－

36、PF2

37、

38、＝2，故

39、PF2

40、＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c－a＝－1，故

41、PF2

42、＝6.答案　64.(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)A.(－，0)，(，0)B.(－2，0)，(2，0)C.(0，－)，(0，)D.(0，－2)，(0，2)解析　由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0).答案　B

43、5.(2017·全国Ⅲ卷)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.解析　由题意可得＝，所以a＝5.答案　56.(2018·北京卷)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则a＝________.解析　由题意可得，＝，即a2＝16，又a>0，所以a＝4.答案　4考点一　双曲线的定义及应用【例1】(1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

44、PF1

45、＝2

46、PF2

47、，则cos∠F1PF2＝(　　)A.B.C.D.(2)(2019·济南调研)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M

48、同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________.解析　(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，

49、PF1

50、－

51、PF2

52、＝2a＝2，又

53、PF1

54、＝2

55、PF2

56、，∴

57、PF1

58、＝4，

59、PF2

60、＝2，在△PF1F2中，

61、F1F2

62、＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得

63、MC1

64、－

65、AC1

66、＝

67、MA

68、，

69、MC2

70、－

71、BC2

72、＝

73、MB

74、，因为

75、MA

76、＝

77、MB

78、，所以

79、MC1

80、－

81、AC1

82、＝

83、MC2

84、－

85、BC2

86、，即

87、MC2

88、－

89、MC1

90、

91、＝

92、BC2

93、－

94、AC1

95、