2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第6讲双曲线讲义理含解析.doc

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1、第6讲　双曲线[考纲解读]　1.掌握双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(重点)2.掌握直线与双曲线位置关系的判断，并能求解与双曲线有关的简单问题，理解数形结合思想在解决问题中的应用．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考会考查：①双曲线定义的应用与标准方程的求解；②渐近线方程与离心率的求解．试题以客观题的形式呈现，难度不大，以中档题为主.对应学生用书P1491．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(

2、F1F2

3、＝2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于

4、F1F2

5、且不等于零)的点的轨迹叫

6、做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

7、

8、

9、MF1

10、－

11、MF2

12、

13、＝2a}，

14、F1F2

15、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)当ac时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．1．概念辨析(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双

16、曲线．(　　)(2)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．小题热身(1)已知双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　A解析　双曲线－y2＝1(a>0)两焦点之间的距离为4，∴2c＝4，解得c＝2；∴c2＝a2＋1＝4，

17、∴a＝；∴双曲线的渐近线方程是y＝±x，即y＝±x.故选A.(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若

18、PF1

19、＝9，则

20、PF2

21、＝________.答案　17解析　由题意知

22、PF1

23、＝9

24、PF2

25、－

26、PF1

27、＝2a＝8，故

28、PF2

29、＝

30、PF1

31、＋8＝17.(3)经过点A(5，－3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案　－＝1解析　设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，把点A(5，－3)代入，得λ＝16，故所求方程为－＝1.(4)(2018·北京高考)若双曲线－＝1(a>0)的离心率为，则

32、a＝________.答案　4解析　由已知，b2＝4，e＝＝，即＝2＝，又因为a2＋b2＝c2，所以＝，a2＝16，a＝4.题型　双曲线的定义及应用1．若双曲线－＝1的左焦点为F，点P是双曲线右支上的动点，A(1,4)，则

33、PF

34、＋

35、PA

36、的最小值是(　　)A．8B．9C．10D．12答案　B解析　由题意知，双曲线－＝1的左焦点F的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B，则B(4,0)，由双曲线的定义知

37、PF

38、＋

39、PA

40、＝4＋

41、PB

42、＋

43、PA

44、≥4＋

45、AB

46、＝4＋＝4＋5＝9，当且仅当A，P，B三点共线且P在A，B之间时取等号．∴

47、PF

48、＋

49、PA

50、的最小值为9.故选B.2．已知F1，F2为

51、双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

52、PF1

53、＝2

54、PF2

55、，则cos∠F1PF2＝________.答案　解析　∵由双曲线的定义有

56、PF1

57、－

58、PF2

59、＝

60、PF2

61、＝2a＝2，∴

62、PF1

63、＝2

64、PF2

65、＝4，则cos∠F1PF2＝＝＝.条件探究　举例说明2中，若将条件“

66、PF1

67、＝2

68、PF2

69、”改为“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面积．解　不妨设点P在双曲线的右支上，则

70、PF1

71、－

72、PF2

73、＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴

74、PF1

75、·

76、PF2

77、＝8，∴S△F1PF2＝

78、PF1

79、·

80、PF2

81、·sin60°＝2.(1)应用双曲线的定

82、义需注意的问题在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．(2)在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将

83、

84、PF1

85、－

86、PF2

87、

88、＝2a平方，建立与

89、PF1

90、·

91、PF2

92、间的联系．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．F1，F2