2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲椭圆讲义理含解析.doc

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1、第5讲　椭圆[考纲解读]　1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(重点)2.掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2020年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫

4、做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M

5、

6、MF1

7、＋

8、MF2

9、＝，且2a>

10、F1F2

11、}，

12、F1F2

13、＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>

14、F1F2

15、时，轨迹为椭圆；当2a＝

16、F1F2

17、时，轨迹为线段F1F2；当2a<

18、F1F2

19、时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1

20、，y1)，B(x2，y2)，则

21、AB

22、＝

23、x1－x2

24、＝

25、y1－y2

26、.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.5．必记结论(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，

27、OP

28、有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，

29、OP

30、有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．(　　)(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c

31、(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．(　　)(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．小题热身(1)椭圆＋＝1的离心率是(　　)A.B．C．D．答案　B解析　由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.(2)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)答案　B解析　把y＝x＋2代入＋＝1得3x2＋m(x＋2)2＝3m，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意得Δ＝(4m)2－4m(3＋m)＝1

32、2m(m－1)>0且3＋m≠0，又因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3，所以m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．(3)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案　2＋y2＝解析　由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.(4)已知动点P(x，y)的坐标满足＋＝16，则动点P的轨迹方程为________．答案　＋＝1解析　由已知得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>

33、AB

34、，所以点

35、P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.题型　椭圆的定义及应用1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为(　　)A．8B．4C．4D．2答案　A解析　因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4，且BF1＋BF2＝2a＝4，∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，

36、－1)，则

37、PA

38、＋

39、PB

40、的最大值为(　　)A．5B．4C．3D．2答案　A解析　如图，∵椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得

41、PB

42、＋

43、PB′

44、＝2a＝4，可得

45、PB

46、＝4－

47、PB′

48、，因此

49、PA

50、＋

51、PB

52、＝

53、PA

54、＋(4－

55、PB′

56、)＝4＋(

57、PA

58、－

59、PB′

60、)．∵

61、PA

62、－

63、PB′

64、≤

65、AB′

66、，∴

67、PA

68、＋

69、PB

70、≤4＋

71、AB