北师大版2021高考数学一轮复习统考第9章平面解析几何第5讲椭圆学案含解析 .doc

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1、第5讲　椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a}，

9、F1F2

10、＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P表示椭圆；(2)若a＝c，则集合P表示线段；(3)若ab>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x

11、≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴　　对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．椭圆的焦点三角形-18-椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ

14、.(1)当P为短轴端点时，θ最大．(2)S＝

15、PF1

16、

17、PF2

18、sinθ＝b2tan＝c

19、y0

20、，当

21、y0

22、＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．(4)4c2＝

23、PF1

24、2＋

25、PF2

26、2－2

27、PF1

28、

29、PF2

30、cosθ.2．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.3．AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则(1)弦长l＝

31、x1－x2

32、＝

33、y1－y2

34、

35、；(2)直线AB的斜率kAB＝－.1．已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．9答案　B解析　由4＝(m>0)⇒m＝3，故选B．2．若椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m的值为(　　)A．B．C．2D．4答案　A解析　将原方程变形为x2＋＝1.由题意知a2＝，b2＝1，∴a＝，b＝1.∴＝2，∴-18-m＝.3．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则(　　)A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．

36、a＝2bD．3a＝4b答案　B解析　因为椭圆的离心率e＝＝，所以a2＝4c2.又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2.故选B．4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则椭圆C的方程是(　　)A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1答案　D解析　依题意，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方程为＋＝1.5．(2019·西安模拟)已知点P(x1，y1)是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是其左、右焦点，当∠F1PF2最大时，△PF1F2的面积是(　

37、　)A．B．12C．16(2＋)D．16(2－)答案　B解析　∵椭圆的方程为＋＝1，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴F1(－3,0)，F2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F1PF2最大，此时△PF1F2的面积S＝×2×3×4＝12，故选B．6．椭圆3x2＋ky2＝3的一个焦点是(0，)，则k＝________.答案　1解析　方程3x2＋ky2＝3可化为x2＋＝1.a2＝>1＝b2，c2＝a2－b2＝－1＝2，解得k-18-＝1.核心考向突破考向一　椭圆定义及其应用例1　(1)

38、已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案　B解析　点P在线段AN的垂直平分线上，故

39、PA

40、＝

41、PN

42、.又AM是圆的半径，所以

43、PM

44、＋

45、PA

46、＝

47、PM

48、＋

49、PN

50、＝

51、AM

52、＝6>

53、MN

54、.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．(2)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，

55、AF1

56、＝3

57、F1B

58、，且

59、AB

60、＝4，△AB

61、F2的周长为16.则

62、AF2

63、＝________.答案　5解析　由

64、AF1

65、＝3

66、F1B

67、，

68、AB

69、＝4，得

70、AF1

71、＝3.∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，∴a＝4.则

72、AF1

73、＋

74、AF2

75、＝2a＝8，∴

76、AF2

77、＝8－

78、AF1

79、＝8－3＝5.(1)椭圆定义的应用范围①确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．②解决与焦点有关的距离问题．(2)焦点三角形的应用椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求

80、PF1

81、，

82、