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《2020版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第5讲 椭圆讲义 理（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第5讲 椭圆[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(重点)2.掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2020年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧强，具有一定的区分度，试题中等偏难.1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于
2、F1F2
3、)的点
4、的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P＝{M
5、
6、MF1
7、＋
8、MF2
9、＝，且2a>
10、F1F2
11、}，
12、F1F2
13、＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．注：当2a>
14、F1F2
15、时，轨迹为椭圆；当2a＝
16、F1F2
17、时，轨迹为线段F1F2；当2a<
18、F1F2
19、时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭
20、圆相离．4．弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
21、AB
22、＝
23、x1－x2
24、＝
25、y1－y2
26、.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.5．必记结论(1)设椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，
27、OP
28、有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，
29、OP
30、有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.1．概念辨析(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m
31、≠n)表示的曲线是椭圆．( )(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )(4)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．小题热身(1)椭圆＋＝1的离心率是( )A.B．C．D．答案 B解析 由已知得a＝3，b＝2，所以c＝＝＝，离心率e＝＝.(2)直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0,3)∪(3，＋∞)答案 B解析
32、 把y＝x＋2代入＋＝1得3x2＋m(x＋2)2＝3m，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，由题意得Δ＝(4m)2－4m(3＋m)＝12m(m－1)>0且3＋m≠0，又因为m>0且m≠3，所以m>1且m≠3，所以m的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．(3)(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 2＋y2＝解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a＝，解得a＝，所以该圆的标准方程为2＋y2＝.(4)已知动点P(
33、x，y)的坐标满足＋＝16，则动点P的轨迹方程为________．答案 ＋＝1解析 由已知得点P到点A(0，－7)和B(0,7)的距离之和为16，且16>
34、AB
35、，所以点P的轨迹是以A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为16的椭圆．显然a＝8，c＝7，故b2＝a2－c2＝15，所以动点P的轨迹方程为＋＝1.题型 椭圆的定义及应用1．过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为( )A．8B．4C．4D．2答案 A解析 因为椭圆为＋y2＝1，所以椭圆的半长轴a＝2，由椭圆的定义可得AF1＋AF2＝2a＝4
36、，且BF1＋BF2＝2a＝4，∴△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.2．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆＋＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则
37、PA
38、＋
39、PB
40、的最大值为( )A．5B．4C．3D．2答案 A解析 如图，∵椭圆＋＝1，∴焦点坐标为B(0，－1)和B′(0,1)，连接PB′，AB′，根据椭圆的定义，得
41、PB
42、＋
43、PB′
44、＝2a＝4，可得
45、PB
46、＝4－
47、PB′
48、，因此
49、PA
50、＋
51、PB
52、＝
53、PA
54、＋(4－
55、PB′
56、)＝4＋(
57、PA
58、－
59、PB′
60、)．∵
61、PA
62、－
63、PB′
64、≤
65、AB
66、′
67、，∴
68、PA
69、＋
70、PB
71、≤4＋
72、AB
