2020版高考数学大一轮复习第八章解析几何第46讲双曲线课时达标文（含解析）新人教A版

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1、第46讲双曲线课时达标一、选择题1．如果方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B　解析双曲线的方程是－＝1.根据定义和条件知k＋1>0⇒k>－1.故选B.2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　　)A.B．2C.或2D.或C　解析根据条件可知m2＝9，所以m＝±3.当m＝3时，e＝＝；当m＝－3时，e＝2.故选C.3．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD

2、．y＝±xA　解析因为＝，所以＝3，所以＝，所以渐近线方程为y＝±x.故选A.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)A.B．2C.D．2D　解析由＝得a＝b，所以双曲线为等轴双曲线，渐近线为x±y＝0，所以点(4,0)到渐近线的距离d＝＝2.故选D.5．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C

3、.－＝1D.－＝1A　解析如图，不妨设点A在点B的上方，则A，B.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则d1＋d2＝＝＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝＝2知a2＋b2＝4a2，所以a＝.所以双曲线的方程为－＝1.故选A.6．(2019·长阳一中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为(　　)A.B.C.D.C　解析双曲线C1：2x2－y2＝1，即－y2＝1，所以左顶点A，渐近线方程y＝±x，过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为y＝，即y＝x＋1.解方程

4、组得所以该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S＝

5、OA

6、

7、y

8、＝××＝.二、填空题7．(2017·北京卷)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.　解析由已知可得a＝1，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝2.答案28．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为________．解析因为双曲线的一条渐近线与直线l：x＋y＝0垂直，所以双曲线的渐近线的斜率为，即＝.①由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得

9、＝1，所以c＝2，即a2＋b2＝4.②联立①②，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.答案x2－＝19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6,0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.解析由条件知

10、BC

11、－

12、BA

13、＝10，且

14、AC

15、＝12.又在△ABC中，有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，从而＝＝.答案三、解答题10．(2019·洛阳一中期中)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直

16、线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求

17、AB

18、.解析(1)因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c＝3，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3,0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．联立得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以

19、AB

20、＝×＝.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝

21、0；(3)求△F1MF2的面积．解析(1)因为e＝，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为－＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0.(3)△F1MF2的底

22、F1F2

23、＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝

24、m

25、＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.12．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦

26、点为F(c