(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习 第八章 解析几何 课时达标46 双曲线

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1、课时达标 第46讲双曲线[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查,通常与平面向量、解三角形或不等式综合在一起,以选择题或填空题形式出现.一、选择题1.(2018·湖南衡阳八中期中)如果方程-=1表示双曲线,则实数k的取值范围是( B )A.(-∞,-1)  B.(-1,+∞)C.(1,+∞)  D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析 双曲线的方程是-=1.根据定义和条件知k+1>0⇒k>-1.故选B.2.已知实数1,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为( C )A.  B.2  C.或2  D.或解析 根据条件可知m2=9,∴m=±

2、3.当m=3时,e==;当m=-3时,e=2.故选C.3.双曲线-2y2=1的渐近线与圆x2+(y+a)2=1相切,则正实数a的值为( C )A.  B.C.  D.解析 ∵双曲线-2y2=1的渐近线方程为y=±x,圆心为(0,-a),半径为1,∴由渐近线和圆相切,得=1,解得a=.4.若实数k满足0

3、为3,焦距为2=2,离心率为,故两曲线只有焦距相等.故选D.5.(2017·天津卷)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( D )A.-=1  B.-=1C.-y2=1  D.x2-=1解析 由△OAF是边长为2的等边三角形可知c=2,=tan60°=,又c2=a2+b2,联立可得a=1,b=,∴双曲线的方程为x2-=1.6.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( A )A.x±y=0

4、  B.x±y=0C.x±2y=0  D.2x±y=0解析 由已知得·=,所以=,∴C2的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.二、填空题7.(2017·北京卷)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=__2__.解析 由已知可得a=1,c=,所以e===,解得m=2.8.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线l:x+y=0垂直,双曲线C的一个焦点到直线l的距离为1,则双曲线C的方程为__x2-=1__.解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l:x+y=0垂直,∴双曲线的渐近线的斜率为,即=.①由题意知双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的一个焦点

5、坐标为(c,0),根据点到直线的距离公式,得=1,∴c=2,即a2+b2=4.②联立①②,解得a2=1,b2=3,∴双曲线的标准方程为x2-=1.9.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则=____.解析 由条件可知

6、BC

7、-

8、BA

9、=10,且

10、AC

11、=12.又在△ABC中,有===2R(R为△ABC外接圆的半径),从而==.三、解答题10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:点M在

12、以F1F2为直径的圆上.解析 (1)∵离心率e=,∴双曲线为等轴双曲线,可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),则由点(4,-)在双曲线上,可得λ=42-(-)2=6,∴双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明:∵点M(3,m)在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3.又双曲线x2-y2=6的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=9-12+3=0,∴MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆上.11.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到

13、渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t的值及点D的坐标.解析 (1)由题意知a=2,∴一条渐近线为y=x,即bx-2y=0,∴=.又c2=12+b2,即b2(12+b2)=3b2+36,∴b2=3.∴双曲线方程为-=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程代入双曲线方程得x2-16x+84=0,则x1+x2=16,y1+y2=12.∴∴由+=t,得(16,12)=(4t,3t),∴t

14、=4,点D的坐标为(4,3).12.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=k

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