2020版高考数学第八章平面解析几何第三节圆的方程学案理（含解析）新人教A版

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1、第三节　圆的方程2019考纲考题考情1．圆的定义(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆。(2)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径。2．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。3．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0，其中圆心为，半径r＝。4．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种。圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。(2

2、)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2。(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。1．圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2。2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。3．二元二次方程表示圆的条件对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件。一、走进教材　　　　　　　　　　　1．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)A．(2,

3、3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。故选D。答案　D2．(必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是(　　)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析　设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因为

4、CA

5、2＝

6、

7、CB

8、2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以r＝2。所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。故选C。解析：因为A(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂线方程为y＝x。由得所以圆心坐标为(1,1)，r＝＝2。则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4。答案　C二、走近高考3．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________。解析　设圆心为(t,0)(t>0)，则半径为4－t，所以4＋

9、t2＝(4－t)2，解得t＝，所以圆的标准方程为2＋y2＝。答案　2＋y2＝4．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________。解析　设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，根据题意得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圆的半径r＝＝3，所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝9。答案　(x－2)2＋y2＝9三、走出误区微提醒：①忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；②错用点与圆的位置关系判定；③忽视圆的方程中变量的取值范

10、围。5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，－)∪(，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2。由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2。答案　B6．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1D．a＝±4解析　因为点(1,1)在圆内，所以

11、(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故选A。答案　A7．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为________。解析　由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48。答案　48考点一圆的方程【例1】　(1)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________。(2)已知

12、圆C经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为________。解析　(1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3①。过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，联立①②，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2。解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0