2020版高考数学第八章平面解析几何第五节椭圆学案理（含解析）新人教A版

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1、第五节　椭　　圆2019考纲考题考情1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。集合P＝{M

4、

5、MF1

6、＋

7、MF2

8、＝2a，

9、F1F2

10、＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。(1)若a＞c，则M点的轨迹为椭圆。(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2。(3)若a＜c，则M点不存在。2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a

11、,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距

12、F1F2

13、＝2c离心率e＝∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b21．椭圆方程中的a，b，c(1)a，b，c关系：a2＝b2＋c2。(2)e与：因为e＝＝＝，所以离心率e越大，则越小，椭圆就越扁；离心率e越小，则越大，椭圆就越圆。2．在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时，要注意应用以下不等关系：－a≤x≤a，－b≤y≤b,0

14、问题注意与椭圆定义、正弦定理、余弦定理的联系。一、走进教材1．(选修2－1P40例1改编)若F1(－3,0)，F2(3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是(　　)A．＋＝1　　　　　B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1或＋＝1解析　设点P的坐标为(x，y)，因为

15、PF1

16、＋

17、PF2

18、＝10>

19、F1F2

20、＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1。故选A。答案　A2．(选修2－1P49A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心

21、率是(　　)A．B．C．2－D．－1解析　设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有

22、PF2

23、＝

24、F1F2

25、，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又0

26、PF2

27、＝

28、F1F2

29、＝2c，

30、PF1

31、＝2c。因为

32、PF1

33、＋

34、PF2

35、＝2a，所以2c＋2c＝2a，所以e＝＝＝－1。故选D。答案　D二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．

36、解析　由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设

37、F1F2

38、＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以

39、PF2

40、＝

41、F1F2

42、＝2c。因为

43、OF2

44、＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)。因为点P在过A且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D。答案　D4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)A．B．C．D．解析　由题知以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，圆心到直线b

45、x－ay＋2ab＝0的距离d＝＝a，得a2＝3b2，C的离心率e＝＝，故选A。答案　A三、走出误区微提醒：①忽视椭圆定义中的限制条件；②忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论；③忽视点P坐标的限制条件。5．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0,9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________。解析　由题意知

46、MF1

47、＋

48、MF2

49、＝18，但

50、F1F2

51、＝18，即

52、MF1

53、＋

54、MF2

55、＝

56、F1F2

57、，所以点M的轨迹是一条线段。答案　线段F1F26．椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于(　　)A．4B．8C．4或8D．12解析　当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0,10－m－(m－2)＝

58、4，所以m＝4。当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8。所以m＝4或8。答案　C7．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________________。解析　设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1,0)，F2(1,0)。由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又