2019版高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.8 曲线与方程学案 理

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1、8．8　曲线与方程[知识梳理]求曲线方程的基本步骤[诊断自测]1．概念思辨(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(选修A2－1P36例3)到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为(　　)A．y＝16x2B．y＝－16

2、x2C．x2＝16yD．x2＝－16y答案　C解析　由题意可知动点M到点F(0,4)的距离与到直线y＝－4的距离相等，则点M的轨迹为抛物线，故选C.(2)(选修A2－1P35例1)到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为________．答案　y＝±解析　根据题意，设动点为M，其坐标为(x，y)，而动点M到两坐标轴距离之积等于2，即

3、x

4、×

5、y

6、＝2，变形可得y＝±，故到两坐标轴距离之积等于2的点的轨迹方程为y＝±.3．小题热身(1)(2018·银川模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且

7、PA

8、＝1，则P点的轨迹方程为(　　)A．y2＝

9、2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2答案　D解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且

10、MA

11、＝1.又∵

12、PA

13、＝1，∴

14、PM

15、＝＝，即

16、PM

17、2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.故选D.(2)(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．答案　y＝2x－2解析　设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.题型1　定义法求轨迹方

18、程　　(2017·大庆模拟)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．用定义法．答案　x2－＝1(x≤－1)解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有

19、MC1

20、－

21、AC1

22、＝

23、MA

24、，

25、MC2

26、－

27、BC2

28、＝

29、MB

30、.又

31、MA

32、＝

33、MB

34、，所以

35、MC2

36、－

37、MC1

38、＝

39、BC2

40、－

41、AC1

42、＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2<

43、C1C2

44、＝6，

45、MC2

46、>

47、MC1

48、，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双

49、曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．[条件探究]　将本例条件变为：“圆C1：(x＋1)2＋y2＝1，圆C2：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆C1外切且与圆C2内切”，求圆心P的轨迹方程．解　因为圆P与圆C1外切且与圆C2内切，所以

50、PC1

51、＋

52、PC2

53、＝(R＋1)＋(3－R)＝4，由椭圆的定义可知，曲线是以C1，C2为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．方法技巧定义法求轨迹方程的适用条件及关键点1．求

54、轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．见典例．2．理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．3．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．见典例．冲关针对训练已知圆C与两圆x2＋(y＋4)2＝1，x2＋(y－2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；(2)求满足条件m＝n的点M的轨

55、迹Q的方程．解　(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，－4)，C2(0,2)，由题意得

56、CC1

57、＝

58、CC2

59、，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为(0，－1)，直线C1C2的斜率不存在，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，其方程为y＝－1，即圆C的圆心轨迹L的方程为y＝－1.(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝－1的距离与到点F(0,1)的距离相等，故点M的轨迹Q是以y＝－1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而＝1，即p＝2，所以轨迹Q的方程是x2＝4y.题型2　直接法求轨迹方程　　(2014·广东高考

60、)已知椭圆