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时间:2019-09-23
《第04讲函数的值域(最值)的常见求法(3)-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04讲:函数的值域(最值)的常见求法(3)(绝对值不等式法和柯西不等式法)【知识要点】一、绝对值不等式1、重要绝对值不等式:\a-b\2、+3、b4、5、使用这个不等式可以求绝对值函数的最值,先要确定是使用左边还是右边,如果两个绝对值屮间是“一”号,就用左边,如果两个绝对值中间是“+”号,就使用右边.再确定中I'可的“土”号,不管是“+”还是“一”,总Z要使屮间是常数.2、求绝对值f(x)^x+a±x+h的最值,常用重要绝对值不等式求解,或者利用数形结合求解.二、柯西不等式1、二维形式的柯西不等式:若弘b、c、d为实数,则(a6、2+b2Xc2+d2)>(ac+bc/)2X当且仅当ad=bc时取“二”)二维形式的柯西不等式的一些变式yl^-^-b2+>ae+bd或+b2^c2+d2>7、8、+1bcl或J/+yy/c24-d2>ac+bcl,要灵活选择应用.2、维向量的柯西不等式:设q,%,a„2,,hneR,贝ij(马2+a?+a;)(bf+冴++b:)>(afy+a2b2++anbn)2(当且仅当色=鱼==弘时取等号,假设也工0)Sb2btl3、利用柯西不等式求最值时,要注意灵活配凑和构造,,使条件满足柯西不等式,这一点很关键.【方法讲评】方法一求绝对值函数的最值使用情景一般含有两个绝对值.解题步骤直9、接使用重要绝对值不等式IIa-b\10、+11、兀+引.(1)求尢的取值范围,使/(%)为常数函数;⑵若关于x的不等式f(x)-a<0解集不是空集,求实数a的取值范围.1—2x—2/X<—3^4,-31.则当xe[-ll]时,/(x)为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数/(%)的最小值为4,二实数Q的取值范围为。二4・方法二:12、x-l13、+14、x+3罔x-l-(x+3)15、・・.16、x-l17、+18、x+3住4等号当且仅当xe[-ll]时成立.得函数/(x)的最小值为4,则19、实数a的取值范围为^>4・【点评】(1)关于兀的不等式/(x)-a<0解集不是空集,即关于兀的不等式/(x)-a<0^实数解,即至少存在一个实数使得不等式成立,所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于&(2)不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆,所以要理解清楚./(x)£a恒成立等价于/(x)nax£a,/(x)£Q有解等价于/(x)min£a,f(x)3a恒成立等价于/(x)min3a,f(x)3a有解等价T-/(x)inax3«.(3)第2问中绝对值的最值,用到了数形结合的方法和绝对值不等式•学科#网【反馈检测1】若不等式20、x+321、+22、x-723、>6/224、-36Z的解集为则实数°的取值范围是—.【反馈检测2】若关于无的不等式卜+1卜卜_225、26、x+2y27、=5,求v'+b的最小值.【解析】由柯西不等式可知:(x2+v2)(l2+22)>x+2y所以x2+y2>,又因为Ix+2y28、=5,所以x2+/>5所以工+员最小值为5.【点评】(1)本题利用其它方29、法求函数的最值不是很方便简洁,但是选择柯西不等式比较简洁•由于已知中有平方和等条件,所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时,要学会配凑和构造,使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知x,JI2x+3y+3z=1,则x1+y2+z2的最小值是•【反馈检测4】若存在实数兀使J3X+6+J14—无>a成立,求常数q的取值范围【反馈检测5】己知函数/(x)=zn-30、x-231、,meR,且f(x+2)>0的解集为[-1,1].(1)求加的值;(2)若a.h.cgR+,且丄+—+—=m,求z=a+2b+3c的最小值.a2b3c高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第0432、讲:函数的值域(最值)的常见求法(3)(绝对值不等式法和柯西不等式法)参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式x+3^x-7>a2-3a的解集为故a2-3a<(33、x+334、+35、x-7)inin36、x+337、+38、x-739、>兀+3-(兀-7)40、=10,所以a2-3a<10,ci~—3a—10<0,—2WdW5.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得41、42、兀+l43、—44、x—2归兀+1—(兀一2)45、,即46、47、x+l48、-49、x-250、51、<3,所以一3<
2、+
3、b
4、
5、使用这个不等式可以求绝对值函数的最值,先要确定是使用左边还是右边,如果两个绝对值屮间是“一”号,就用左边,如果两个绝对值中间是“+”号,就使用右边.再确定中I'可的“土”号,不管是“+”还是“一”,总Z要使屮间是常数.2、求绝对值f(x)^x+a±x+h的最值,常用重要绝对值不等式求解,或者利用数形结合求解.二、柯西不等式1、二维形式的柯西不等式:若弘b、c、d为实数,则(a
6、2+b2Xc2+d2)>(ac+bc/)2X当且仅当ad=bc时取“二”)二维形式的柯西不等式的一些变式yl^-^-b2+>ae+bd或+b2^c2+d2>
7、
8、+1bcl或J/+yy/c24-d2>ac+bcl,要灵活选择应用.2、维向量的柯西不等式:设q,%,a„2,,hneR,贝ij(马2+a?+a;)(bf+冴++b:)>(afy+a2b2++anbn)2(当且仅当色=鱼==弘时取等号,假设也工0)Sb2btl3、利用柯西不等式求最值时,要注意灵活配凑和构造,,使条件满足柯西不等式,这一点很关键.【方法讲评】方法一求绝对值函数的最值使用情景一般含有两个绝对值.解题步骤直
9、接使用重要绝对值不等式IIa-b\10、+11、兀+引.(1)求尢的取值范围,使/(%)为常数函数;⑵若关于x的不等式f(x)-a<0解集不是空集,求实数a的取值范围.1—2x—2/X<—3^4,-31.则当xe[-ll]时,/(x)为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数/(%)的最小值为4,二实数Q的取值范围为。二4・方法二:12、x-l13、+14、x+3罔x-l-(x+3)15、・・.16、x-l17、+18、x+3住4等号当且仅当xe[-ll]时成立.得函数/(x)的最小值为4,则19、实数a的取值范围为^>4・【点评】(1)关于兀的不等式/(x)-a<0解集不是空集,即关于兀的不等式/(x)-a<0^实数解,即至少存在一个实数使得不等式成立,所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于&(2)不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆,所以要理解清楚./(x)£a恒成立等价于/(x)nax£a,/(x)£Q有解等价于/(x)min£a,f(x)3a恒成立等价于/(x)min3a,f(x)3a有解等价T-/(x)inax3«.(3)第2问中绝对值的最值,用到了数形结合的方法和绝对值不等式•学科#网【反馈检测1】若不等式20、x+321、+22、x-723、>6/224、-36Z的解集为则实数°的取值范围是—.【反馈检测2】若关于无的不等式卜+1卜卜_225、26、x+2y27、=5,求v'+b的最小值.【解析】由柯西不等式可知:(x2+v2)(l2+22)>x+2y所以x2+y2>,又因为Ix+2y28、=5,所以x2+/>5所以工+员最小值为5.【点评】(1)本题利用其它方29、法求函数的最值不是很方便简洁,但是选择柯西不等式比较简洁•由于已知中有平方和等条件,所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时,要学会配凑和构造,使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知x,JI2x+3y+3z=1,则x1+y2+z2的最小值是•【反馈检测4】若存在实数兀使J3X+6+J14—无>a成立,求常数q的取值范围【反馈检测5】己知函数/(x)=zn-30、x-231、,meR,且f(x+2)>0的解集为[-1,1].(1)求加的值;(2)若a.h.cgR+,且丄+—+—=m,求z=a+2b+3c的最小值.a2b3c高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第0432、讲:函数的值域(最值)的常见求法(3)(绝对值不等式法和柯西不等式法)参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式x+3^x-7>a2-3a的解集为故a2-3a<(33、x+334、+35、x-7)inin36、x+337、+38、x-739、>兀+3-(兀-7)40、=10,所以a2-3a<10,ci~—3a—10<0,—2WdW5.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得41、42、兀+l43、—44、x—2归兀+1—(兀一2)45、,即46、47、x+l48、-49、x-250、51、<3,所以一3<
10、+
11、兀+引.(1)求尢的取值范围,使/(%)为常数函数;⑵若关于x的不等式f(x)-a<0解集不是空集,求实数a的取值范围.1—2x—2/X<—3^4,-31.则当xe[-ll]时,/(x)为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数/(%)的最小值为4,二实数Q的取值范围为。二4・方法二:
12、x-l
13、+
14、x+3罔x-l-(x+3)
15、・・.
16、x-l
17、+
18、x+3住4等号当且仅当xe[-ll]时成立.得函数/(x)的最小值为4,则
19、实数a的取值范围为^>4・【点评】(1)关于兀的不等式/(x)-a<0解集不是空集,即关于兀的不等式/(x)-a<0^实数解,即至少存在一个实数使得不等式成立,所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于&(2)不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆,所以要理解清楚./(x)£a恒成立等价于/(x)nax£a,/(x)£Q有解等价于/(x)min£a,f(x)3a恒成立等价于/(x)min3a,f(x)3a有解等价T-/(x)inax3«.(3)第2问中绝对值的最值,用到了数形结合的方法和绝对值不等式•学科#网【反馈检测1】若不等式
20、x+3
21、+
22、x-7
23、>6/2
24、-36Z的解集为则实数°的取值范围是—.【反馈检测2】若关于无的不等式卜+1卜卜_2
25、
26、x+2y
27、=5,求v'+b的最小值.【解析】由柯西不等式可知:(x2+v2)(l2+22)>x+2y所以x2+y2>,又因为Ix+2y
28、=5,所以x2+/>5所以工+员最小值为5.【点评】(1)本题利用其它方
29、法求函数的最值不是很方便简洁,但是选择柯西不等式比较简洁•由于已知中有平方和等条件,所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时,要学会配凑和构造,使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知x,JI2x+3y+3z=1,则x1+y2+z2的最小值是•【反馈检测4】若存在实数兀使J3X+6+J14—无>a成立,求常数q的取值范围【反馈检测5】己知函数/(x)=zn-
30、x-2
31、,meR,且f(x+2)>0的解集为[-1,1].(1)求加的值;(2)若a.h.cgR+,且丄+—+—=m,求z=a+2b+3c的最小值.a2b3c高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04
32、讲:函数的值域(最值)的常见求法(3)(绝对值不等式法和柯西不等式法)参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式x+3^x-7>a2-3a的解集为故a2-3a<(
33、x+3
34、+
35、x-7)inin
36、x+3
37、+
38、x-7
39、>兀+3-(兀-7)
40、=10,所以a2-3a<10,ci~—3a—10<0,—2WdW5.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得
41、
42、兀+l
43、—
44、x—2归兀+1—(兀一2)
45、,即
46、
47、x+l
48、-
49、x-2
50、
51、<3,所以一3<
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