第04讲函数的值域（最值）的常见求法（3）-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析

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1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04讲：函数的值域(最值)的常见求法(3)(绝对值不等式法和柯西不等式法)【知识要点】一、绝对值不等式1、重要绝对值不等式：\a-b\

2、+

3、b

4、

5、使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值屮间是“一”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中I'可的“土”号，不管是“+”还是“一”,总Z要使屮间是常数.2、求绝对值f(x)^x+a±x+h的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.二、柯西不等式1、二维形式的柯西不等式：若弘b、c、d为实数，则(a

6、2+b2Xc2+d2)>(ac+bc/)2X当且仅当ad=bc时取“二”)二维形式的柯西不等式的一些变式yl^-^-b2+>ae+bd或+b2^c2+d2>

7、

8、+1bcl或J/+yy/c24-d2>ac+bcl,要灵活选择应用.2、维向量的柯西不等式:设q,%,a„2,,hneR,贝ij(马2+a?+a；)(bf+冴++b：)>(afy+a2b2++anbn)2(当且仅当色=鱼==弘时取等号，假设也工0)Sb2btl3、利用柯西不等式求最值时，要注意灵活配凑和构造,，使条件满足柯西不等式，这一点很关键.【方法讲评】方法一求绝对值函数的最值使用情景一般含有两个绝对值.解题步骤直

9、接使用重要绝对值不等式IIa-b\

10、+

11、兀+引.(1)求尢的取值范围，使/(%)为常数函数；⑵若关于x的不等式f(x)-a<0解集不是空集，求实数a的取值范围.1—2x—2/X<—3^4,-31.则当xe[-ll]时，/(x)为常数函数.(2)方法一:如图，结合(1)知函数/(%)的最小值为4,二实数Q的取值范围为。二4・方法二：

12、x-l

13、+

14、x+3罔x-l-(x+3)

15、・・.

16、x-l

17、+

18、x+3住4等号当且仅当xe[-ll]时成立.得函数/(x)的最小值为4,则

19、实数a的取值范围为^>4・【点评】(1)关于兀的不等式/(x)-a<0解集不是空集，即关于兀的不等式/(x)-a<0^实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是不等式“有解”问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于&(2)不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚./(x)£a恒成立等价于/(x)nax£a，/(x)£Q有解等价于/(x)min£a,f(x)3a恒成立等价于/(x)min3a,f(x)3a有解等价T-/(x)inax3«.(3)第2问中绝对值的最值，用到了数形结合的方法和绝对值不等式•学科#网【反馈检测1】若不等式

20、x+3

21、+

22、x-7

23、>6/2

24、-36Z的解集为则实数°的取值范围是—.【反馈检测2】若关于无的不等式卜+1卜卜_2

25、

26、x+2y

27、=5,求v'+b的最小值.【解析】由柯西不等式可知：(x2+v2)(l2+22)>x+2y所以x2+y2>，又因为Ix+2y

28、=5,所以x2+/>5所以工+员最小值为5.【点评】(1)本题利用其它方

29、法求函数的最值不是很方便简洁，但是选择柯西不等式比较简洁•由于已知中有平方和等条件，所以可以尝试利用柯西不等式求最值.(2)利用柯西不等式时，要学会配凑和构造，使它满足柯西不等式左右两边的形式.【反馈检测3】已知x,JI2x+3y+3z=1,则x1+y2+z2的最小值是•【反馈检测4】若存在实数兀使J3X+6+J14—无>a成立，求常数q的取值范围【反馈检测5】己知函数/(x)=zn-

30、x-2

31、,meR,且f(x+2)>0的解集为[-1,1].(1)求加的值;(2)若a.h.cgR+,且丄+—+—=m,求z=a+2b+3c的最小值.a2b3c高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第04

32、讲：函数的值域（最值）的常见求法（3）（绝对值不等式法和柯西不等式法）参考答案【反馈检测1答案】【反馈检测1详细解析】不等式x+3^x-7>a2-3a的解集为故a2-3a<（

33、x+3

34、+

35、x-7）inin

36、x+3

37、+

38、x-7

39、>兀+3-（兀-7）

40、=10,所以a2-3a<10,ci~—3a—10<0,—2WdW5.【反馈检测2答案】B【反馈检测2详细解析】由绝对值不等式得

41、

42、兀+l

43、—

44、x—2归兀+1—（兀一2）

45、,即

46、

47、x+l

48、-

49、x-2

50、

51、<3,所以一3<