2019-2020年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第03讲 函数的值域（最值）的常见求法（2）

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1、2019-2020年高考数学常见题型解法归纳反馈训练第03讲函数的值域（最值）的常见求法（2）【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用

2、的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求

3、函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因

4、为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二

5、定三相等”来分析解答.【反馈检测2】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【xx浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令

6、，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。【点评】（1）如果能确定函数的单调性时，可以使用函数的单调性求函数的值域.（2）本题中利用了这样一个性质：增（减）函数+增（减）函数=增（减）函数.（3）本题，都是增函数，利用到了复合函数的单调性,所以要对函数单调性的判定方法比较熟练，才能做到游刃有余.【反馈检测4】求函数的值域.方法九数形结合法使用情景函数有明显的几何意义.解题步骤先找到“数”对应的“形”，再利用数形结合分析解答.【例6】求函数的值域.【点评】(1)画函数的图像，要先化简解析式，再画出函数

7、的图像.(2)本题也可以利用重要的绝对值不等式得到函数的最值，，所以函数的最小值为5.（3）对于绝对值函数，一般利用零点讨论法把函数化成分段函数，再作图.【例7】如果函数定义在区间上，求的最小值.图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即.当时，函数取得最小值.图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即.当时，函数取得最小值图3综上讨论，【点评】二次函数在闭区间上的最值问题，是一种较典型的问题.如果对称轴和区间的位置关系不能确定，常利用分类讨论和数形结合分析解答.【例8】求函数的值域.因为直线和圆相切，所以所以函数

8、的值域为【点评】（1）对于某些具有明显几何意义的函数，我们可以利用数形结合的方法求该函数的值域.先找到函数对应的形态特征，再求该函数的值域.（2）由于对应着两点之间的斜率（差之比对应直线的斜率），所以本题可以利用斜率分析解答.【例9】设是上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于的方程恰有3个